Questão 05) (2,0 pontos) Use a integral dupla para calcular a área da elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
que está delimitada pela parte positiva de y.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte superior da elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
usando integral dupla. O conteúdo principal é que a área de uma região R no plano vale
\text{Área}(R)=\iint_{R}1\,dA.Á
Para facilitar, vamos usar a mudança de variáveis
x=2u,\quad y=3v,
que transforma a elipse numa região circular.

Passo 2

Sob a transformação x=2u, y=3v a região elíptica top-half \{(x,y)\mid x^{2}/4+y^{2}/9\le1,\\ y\ge0\} passa para \{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le1,\\ v\ge0\}, que é a semicircunferência unitaria no semiplano v\ge0.

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação:
J = \det\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix} =2\cdot3=6.

Passo 4

A integral dupla para a área fica
\iint_{R}1\,dA =\iint_{D}1\cdot\bigl|J\bigr|\,du\,dv =6\iint_{D}1\,du\,dv,
onde D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le1,\\ v\ge0\}.

Passo 5

A região D é a metade superior do disco unitário, cuja área vale \pi/2. Logo,
\iint_{D}1\,du\,dv=\frac{\pi}{2}.

Resposta

\text{Área}=\;6\cdot\frac{\pi}{2}=3\pi.Á

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