Questão 06) (2,0 pontos) Mostre que o volume da esfera de raio R é igual a
V=\frac{4}{3} \pi \cdot R^{3}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o volume de uma esfera de raio R é
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
O conteúdo envolvido é cálculo de volume por integração tripla, usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, definimos
\begin{cases} x = r\sin\varphi\cos\theta,\\\ y = r\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = r\cos\varphi, \end{cases}
com r\in[0,R], \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi]. O elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

O volume da esfera vem da integral tripla
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{R} r^{2}\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{R} r^{2}\,dr = \Bigl[\frac{r^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{R} = \frac{R^{3}}{3}.
Então
V = \frac{R^{3}}{3}\,\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} \sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Agora integramos nas variáveis angulares:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 2, \qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
logo o fator angular total é 2\cdot2\pi = 4\pi. Portanto
V = \frac{R^{3}}{3}\times 4\pi = \frac{4}{3}\,\pi\,R^{3}.

Resposta

V = \frac{4}{3}\,\pi\,R^{3}

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