Considere a função f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}+5.
(1.) Identifique os intervalos em que f é crescente e os intervalos em que f é decrescente.

Passo 1

O enunciado pede para identificar onde a função
f(x)=3x^{4}-4x^{3}+5
é crescente ou decrescente. O conteúdo aqui é monotonicidade de funções, e vamos usar derivadas para isso.

Passo 2

Calculemos a derivada de f. Usando a regra de potência e a linearidade,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}(5) =12x^{3}-12x^{2}+0.

Passo 3

Fatorando f'(x), temos
f'(x)=12x^{2}(x-1).

Passo 4

Os pontos críticos são as soluções de f'(x)=0, ou seja,
12x^{2}(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{(multiplicidade 2)}\quad\text{e}\quad x=1.

Passo 5

Para determinar o sinal de f'(x), note que 12x^{2}\ge0 para todo x e só zera em x=0. Assim o sinal de f'(x) vem de (x-1):
  • Se x<1, então x-1<0 e x^{2}>0 (quando x\neq0), logo f'(x)<0.
  • Se x>1, então x-1>0 e x^{2}>0, logo f'(x)>0.
    Em x=0 temos f'(0)=0 mas não há troca de sinal, é um ponto de inflexão estacionário.

Passo 6

Concluímos que:
  • f'(x)<0 em (-\infty,1), então f é decrescente em (-\infty,1).
  • f'(x)>0 em (1,\infty), então f é crescente em (1,\infty).

Resposta

A função é decrescente em (-\infty,1) e crescente em (1,\infty).

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