Ache os extremos de f(x, y)=x^{2}+3 y-y^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+3y-y^{3} definida em todo o plano \mathbb{R}^{2} e pede que se encontrem os extremos (pontos críticos e sua classificação, isto é, mínimo, máximo ou ponto de sela).
Informações importantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+3y-y^{3}.
    Perguntas a responder:
  • Quais são os pontos críticos de f?
  • Como classificar cada ponto crítico (mínimo local, máximo local ou ponto de sela)?
  • Existem máximos ou mínimos globais (absolutos)?

Passo 2

Conceito e procedimento para achar pontos críticos (aula rápida):
Um ponto (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais primeiras se anularem ali. Essas derivadas formam o gradiente
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Para encontrar pontos críticos resolvemos o sistema \nabla f(x,y)= (0,0). Aqui cada componente do gradiente é uma função das variáveis x e y; anular o gradiente é anular ambas as componentes simultaneamente.
Calculemos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3-3y^{2}=3(1-y^{2}).

Passo 3

Resolver o sistema \nabla f=(0,0):
2x=0,\qquad 3(1-y^{2})=0.
Da primeira equação vem imediatamente
x=0.
Da segunda:
1-y^{2}=0\quad\Rightarrow\quad y^{2}=1\quad\Rightarrow\quad y=\pm 1.
Logo os pontos críticos são
(0,1)\quad\text{e}\quad(0,-1).

Passo 4

Como classificamos esses pontos? A regra padrão: usar as derivadas segundas (Hessiano). Definições e interpretação (mini-aula):
  • Calcule as segundas derivadas parciais: f_{xx},\,f_{yy},\,f_{xy}.
  • Forme o determinante do Hessiano (também chamado discriminante de segunda ordem)
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^{2}.
Interpretação do sinal de D num ponto crítico (x_0,y_0):
  • Se D(x_0,y_0)>0 e f_{xx}(x_0,y_0)>0, então f tem mínimo local em (x_0,y_0).
  • Se D(x_0,y_0)>0 e f_{xx}(x_0,y_0)<0, então f tem máximo local em (x_0,y_0).
  • Se D(x_0,y_0)<0, então (x_0,y_0) é ponto de sela.
  • Se D(x_0,y_0)=0, o teste é inconclusivo.
Agora calculemos as derivadas segundas para a nossa função:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x)=0,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(3-3y^{2}\big)=-6y.
Portanto o discriminante é
D(x,y)=2\cdot(-6y)-0^{2}=-12y.

Passo 5

Avaliar D e f_{xx} nos pontos críticos:
Para (0,1):
D(0,1)=-12\cdot 1=-12<0.
Como D<0, (0,1) é um ponto de sela. Para referência, o valor da função ali é
f(0,1)=0^{2}+3\cdot 1-1^{3}=3-1=2.
Para (0,-1):
D(0,-1)=-12\cdot(-1)=12>0,
e lembrando que f_{xx}=2>0, temos D>0 e f_{xx}>0, logo (0,-1) é um mínimo local. O valor da função nesse ponto é
f(0,-1)=0^{2}+3\cdot(-1)-(-1)^{3}=-3-(-1)=-2.

Passo 6

Existem extremos globais (absolutos)? Vamos ver o comportamento da função para valores grandes de x e y (intuição e limites):
  • Mantendo y fixo e fazendo |x|\to\infty, o termo x^{2} domina e f(x,y)\to+\infty. Assim f é não limitada superiormente ao procurar em direções com x grande.
  • Tomando y\to+\infty com x fixo, o termo -y^{3} domina e f(x,y)\to -\infty. Assim f é não limitada inferiormente ao ir para y grande e positivo.
Conclusão: f não possui máximo absoluto nem mínimo absoluto (está não limitado acima e abaixo), apenas os extremos locais encontrados.

Passo 7

Resumo final (para memorização rápida): houve dois pontos críticos; um é mínimo local e outro é ponto de sela. Os valores da função nesses pontos foram calculados.

Resposta

(0,1) é ponto de sela e f(0,1)=2.
(0,-1) é mínimo local e f(0,-1)=-2.
Não há máximo absoluto nem mínimo absoluto.

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