Ache os extremos de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em todo o plano
e pede que se encontrem os extremos (pontos críticos e sua classificação, isto é, mínimo, máximo ou ponto de sela).
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função é
.
Perguntas a responder: - Quais são os pontos críticos de
? - Como classificar cada ponto crítico (mínimo local, máximo local ou ponto de sela)?
- Existem máximos ou mínimos globais (absolutos)?
Passo 2
Conceito e procedimento para achar pontos críticos (aula rápida):
Um ponto é crítico se as derivadas parciais primeiras se anularem ali. Essas derivadas formam o gradiente
Um ponto
Para encontrar pontos críticos resolvemos o sistema
. Aqui cada componente do gradiente é uma função das variáveis
e
; anular o gradiente é anular ambas as componentes simultaneamente.
Calculemos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Resolver o sistema
:
Da primeira equação vem imediatamente
Da segunda:
Logo os pontos críticos são
Passo 4
Como classificamos esses pontos? A regra padrão: usar as derivadas segundas (Hessiano). Definições e interpretação (mini-aula):
- Calcule as segundas derivadas parciais:
. - Forme o determinante do Hessiano (também chamado discriminante de segunda ordem)
Interpretação do sinal de
num ponto crítico
:
- Se
e , então tem mínimo local em . - Se
e , então tem máximo local em . - Se
, então é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Agora calculemos as derivadas segundas para a nossa função:
Portanto o discriminante é
Passo 5
Avaliar
e
nos pontos críticos:
Para
:
Como
,
é um ponto de sela. Para referência, o valor da função ali é
Para
:
e lembrando que
, temos
e
, logo
é um mínimo local. O valor da função nesse ponto é
Passo 6
Existem extremos globais (absolutos)? Vamos ver o comportamento da função para valores grandes de
e
(intuição e limites):
- Mantendo
fixo e fazendo , o termo domina e . Assim é não limitada superiormente ao procurar em direções com grande. - Tomando
com fixo, o termo domina e . Assim é não limitada inferiormente ao ir para grande e positivo.
Conclusão:
não possui máximo absoluto nem mínimo absoluto (está não limitado acima e abaixo), apenas os extremos locais encontrados.
Passo 7
Resumo final (para memorização rápida): houve dois pontos críticos; um é mínimo local e outro é ponto de sela. Os valores da função nesses pontos foram calculados.
Resposta
Não há máximo absoluto nem mínimo absoluto.