Ache os extremos de f no intervalo dado.
f(x)=5-6 x^2-2 x^3 ; [-3,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função f(x) = 5 - 6x^2 - 2x^3 no intervalo de x de -3 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar os pontos onde a função pode atingir seus valores máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos ajuda a identificar onde a função está crescendo ou diminuindo, e onde ela pode mudar de direção, indicando possíveis extremos.
A função é:
f(x) = 5 - 6x^2 - 2x^3
Vamos derivar em relação a x :
f'(x) = ddx(5) - ddx(6x^2) - ddx(2x^3)
f'(x) = 0 - 12x - 6x^2
Então, a derivada é:
f'(x) = -12x - 6x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são onde a função pode ter extremos.
Vamos resolver f'(x) = 0 :
-12x - 6x^2 = 0
Podemos fatorar:
-6x(2 + x) = 0
Então, temos duas soluções:
-6x = 0 Rightarrow x = 0
2 + x = 0 Rightarrow x = -2
Então, os pontos críticos são x = 0 e x = -2 .

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função f(x) nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo, que são x = -3 e x = 1 .
Calculando f(-3) :
f(-3) = 5 - 6(-3)^2 - 2(-3)^3
f(-3) = 5 - 6(9) - 2(-27)
f(-3) = 5 - 54 + 54
f(-3) = 5
Calculando f(-2) :
f(-2) = 5 - 6(-2)^2 - 2(-2)^3
f(-2) = 5 - 6(4) - 2(-8)
f(-2) = 5 - 24 + 16
f(-2) = -3
Calculando f(0) :
f(0) = 5 - 6(0)^2 - 2(0)^3
f(0) = 5
Calculando f(1) :
f(1) = 5 - 6(1)^2 - 2(1)^3
f(1) = 5 - 6 - 2
f(1) = -3

Passo 5

Agora, vamos analisar os valores obtidos:
  • f(-3) = 5
  • f(-2) = -3
  • f(0) = 5
  • f(1) = -3
O maior valor da função no intervalo é 5, que ocorre em x = -3 e x = 0 . O menor valor é -3, que ocorre em x = -2 e x = 1 .

Resposta

Os extremos da função f(x) = 5 - 6x^2 - 2x^3 no intervalo [-3, 1] são:
  • Máximo local: f(-3) = 5 e f(0) = 5
  • Mínimo local: f(-2) = -3 e f(1) = -3

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