Seja T a temperatura (em ^circ F) no instante t (em horas). Se a temperatura está decrescendo, então d T / d t é a taxa de resfriamento. A maior variação de temperatura durante um período de 12 horas ocorreu em Montana em 1916, quando a temperatura caiu de 44^circ F para -56^circ F. Mostre que a taxa do resfriamento excedeu -8^circ F / h em algum instante durante o período de variação.

Passo 1

O enunciado envolve a temperatura T(t) contínua e diferenciável em [0,12], com T(0)=44^circ F e T(12)=-56^circ F. Queremos mostrar que em algum instante tin(0,12) a derivada tfracdTdt ficou abaixo de -8^circ F/ h. Para isso vamos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) de Cálculo Diferencial.

Passo 2

Calculamos a taxa média de variação de T no intervalo de 0 a 12 horas:
De<a TDe<a t =T(12)-T(0)12-0 =-56 - 4412 =-10012 =-10012 approx -8,333;^circ F/ h
Observe que -100/12<-8.

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio, como T(t) é contínua em [0,12] e diferenciável em (0,12), existe cin(0,12) tal que
T'(c) =T(12)-T(0)12-0 =-10012
Como -100/12<-8, segue que
T'(c)<-8;^circ F/ h

Resposta

Em algum instante durante as 12 horas a taxa de resfriamento excedeu -8^circ F/ h.

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