Seja
a temperatura (em
) no instante
(em horas). Se a temperatura está decrescendo, então
é a taxa de resfriamento. A maior variação de temperatura durante um período de 12 horas ocorreu em Montana em 1916, quando a temperatura caiu de
para
. Mostre que a taxa do resfriamento excedeu
em algum instante durante o período de variação.
Passo 1
O enunciado envolve a temperatura
contínua e diferenciável em
, com
e
. Queremos mostrar que em algum instante
a derivada
ficou abaixo de
. Para isso vamos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) de Cálculo Diferencial.
Passo 2
Calculamos a taxa média de variação de
no intervalo de
a
horas:
Observe que
.
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Médio, como
é contínua em
e diferenciável em
, existe
tal que
Como
, segue que
Resposta
Em algum instante durante as 12 horas a taxa de resfriamento excedeu
.