(i) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(iv) Esboce o gráfico.
(ii) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(iv) Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
. Intervalos de crescimento e decréscimo.
. Extremos locais (máximos e mínimos).
. Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
. Esboço do gráfico.
Para isso, vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda, teste de sinais e interpretação geométrica.
Para isso, vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda, teste de sinais e interpretação geométrica.
Passo 2
Calcular a derivada primeira e achar pontos críticos.
Os zeros de
são
Passo 3
Analisar o sinal de
em cada intervalo:
- Em
, decrescente. - Em
, crescente. - Em
, decrescente. - Em
, crescente.
Logo, extremos locais nos pontos críticos:
-
: muda de decrescente para crescente mínimo local. -
: muda de crescente para decrescente máximo local. -
: muda de decrescente para crescente mínimo local.
Calcular os valores:
Passo 4
Calcular a derivada segunda e achar pontos de inflexão.
Resolver
:
Passo 5
Analisar o sinal de
:
- Em
, concavidade para cima. - Em
, concavidade para baixo. - Em
, concavidade para cima.
Nos pontos
há inflexão. O valor de
nesses pontos é
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
- Para
, . - Zeros de
em (mínimo local ), em (máximo local ) e em (mínimo local ). - Pontos de inflexão em
com .
O gráfico tem forma de “W”: desce até, sobe até , desce até e depois sobe indefinidamente, trocando a concavidade em .
Resposta
(i) Crescente em
.
Decrescente em .
Decrescente em
(ii) Mínimos locais em
e
.
Máximo local em .
Máximo local em
(iii) Concavidade para cima em
.
Concavidade para baixo em .
Pontos de inflexão em .
Concavidade para baixo em
Pontos de inflexão em
(iv) Esboço: curva de grau
com “W-shape”, comportando-se como descrito no passo
.