(i) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(iv) Esboce o gráfico.
f(x)=14 x^4-4 x^2+3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=14x^4-4x^2+3
e pede:
1. Intervalos de crescimento e decréscimo.
2. Extremos locais (máximos e mínimos).
3. Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
4. Esboço do gráfico.
Para isso, vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda, teste de sinais e interpretação geométrica.

Passo 2

Calcular a derivada primeira e achar pontos críticos.
f'(x)=ddxl(tfrac14x^4-4x^2+3r)=x^3-8x=x,(x^2-8)=x,(x-2raiz2),(x+2raiz2)
Os zeros de f' são
x=-2raiz2, x=0, x=2raiz2

Passo 3

Analisar o sinal de f' em cada intervalo:
  • Em (-infty,-2raiz2), f'<0 Rightarrow f decrescente.
  • Em (-2raiz2,0), f'>0 Rightarrow f crescente.
  • Em (0,2raiz2), f'<0 Rightarrow f decrescente.
  • Em (2raiz2,infty), f'>0 Rightarrow f crescente.
Logo, extremos locais nos pontos críticos:
  • x=-2raiz2: muda de decrescente para crescente Rightarrow mínimo local.
  • x=0: muda de crescente para decrescente Rightarrow máximo local.
  • x=2raiz2: muda de decrescente para crescente Rightarrow mínimo local.
Calcular os valores:
f(pm2raiz2)=tfrac14(2raiz2)^4-4(2raiz2)^2+3 =tfrac14cdot64-4cdot8+3=16-32+3=-13,
f(0)=3

Passo 4

Calcular a derivada segunda e achar pontos de inflexão.
f''(x)=ddx(x^3-8x)=3x^2-8
Resolver f''(x)=0:
3x^2-8=0implies x^2=tfrac83implies x=pmraiztfrac83=pmtfrac2raiz63

Passo 5

Analisar o sinal de f'':
  • Em l(-infty,-tfrac2raiz63r), f''>0 Rightarrow concavidade para cima.
  • Em l(-tfrac2raiz63,tfrac2raiz63r), f''<0 Rightarrow concavidade para baixo.
  • Em l(tfrac2raiz63,inftyr), f''>0 Rightarrow concavidade para cima.
Nos pontos x=pmtfrac2raiz63 há inflexão. O valor de f nesses pontos é
fl(pmtfrac2raiz63r) =tfrac14l(tfrac83r)^2-4l(tfrac83r)+3 =tfrac169-tfrac323+3 =16-96+279=-539

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Para xtopminfty, f(x)to+infty.
  • Zeros de f' em -2raiz2approx-2,83 (mínimo local f=-13), em 0 (máximo local f=3) e em 2raiz2approx2,83 (mínimo local f=-13).
  • Pontos de inflexão em pmtfrac2raiz63approxpm1,63 com f=-539approx-5,89.
    O gráfico tem forma de “W”: desce até -2raiz2, sobe até 0, desce até 2raiz2 e depois sobe indefinidamente, trocando a concavidade em pmtfrac2raiz63.

Resposta

(i) Crescente em l(-2raiz2,0r)cupl(2raiz2,inftyr).
Decrescente em l(-infty,-2raiz2r)cupl(0,2raiz2r).
(ii) Mínimos locais em l(-2raiz2,-13r) e l(2raiz2,-13r).
Máximo local em l(0,3r).
(iii) Concavidade para cima em l(-infty,-tfrac2raiz63r)cupl(tfrac2raiz63,inftyr).
Concavidade para baixo em l(-tfrac2raiz63,tfrac2raiz63r).
Pontos de inflexão em l(pmtfrac2raiz63,-tfrac539r).
(iv) Esboço: curva de grau 4 com “W-shape”, comportando-se como descrito no passo 6.

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