Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.
integral duplaD e^x^2+y^2 d A,
D é o disco com centro na origem e raio 12

Passo 1

O enunciado pede para estimar a integral
integral duplaD e^x^2+y^2,dA
onde D é o disco de centro na origem e raio tfrac12. Vamos usar a Propriedade 11 (monotonicidade da integral): se uma função satisfaz
m <= f(x,y) <= M
em D, então
m,Area(D) <= integral duplaDf,dA <= M,Area(D)

Passo 2

Note que em qualquer ponto de D temos
0 <= x^2+y^2 <= tfrac14,
logo a função
f(x,y)=e^x^2+y^2
satisfaz
e^0=1 <= f(x,y) <= e^1/4
Aqui m=1 e M=e^1/4.

Passo 3

A área de D é
Area(D)=pil(tfrac12r)^2=pi4
Aplicando a Propriedade 11 obtemos
1cdotpi4 ;<=; integral duplaDe^x^2+y^2,dA ;<=; e^1/4cdotpi4

Resposta

pi4 <= integral duplaD e^x^2+y^2,dA <= pi4,e^1/4

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