Ache os extremos e os pontos de sela de f.
f(x, y)=13 x^3+4 x y-9 x-y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=tfrac13x^3+4xy-9x-y^2 e classificá-los em extremos locais ou pontos de sela. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar nabla f=0 e, em seguida, analisar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx = partialpartial xl(tfrac13x^3+4xy-9x-y^2r) = x^2 + 4y - 9,
fy = partialpartial yl(tfrac13x^3+4xy-9x-y^2r) = 4x - 2y

Passo 3

Impondo
Da segunda equação vem ou , e os correspondentes são e . Os pontos críticos são e .

Passo 4

Para classificar, montamos a Hessiana:
fxx = 2x, fyy = -2, fxy = 4
O discriminante é
D = fxxfyy - (fxy)^2 = (2x)(-2) - 4^2 = -4x -16
Em (1,2): D = -4(1)-16 = -20<0, logo ponto de sela.
Em (-9,-18): D = -4(-9)-16 = 36-16=20>0 e fxx(-9,-18)=2(-9)=-18<0, logo máximo local.

Resposta

Ponto de sela em (1,2).
Máximo local em (-9,-18).

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