resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
Nos problemas 1-22:
(e^y+1)^2 e^-y d x+(e^x+1)^3 e^-x d y=0

Passo 1

O problema dá a equação diferencial
l(e^y+1r)^2e^-y,dx ;+;l(e^x+1r)^3e^-x,dy ;=;0
e pede solução por separação de variáveis. Note que o coeficiente de dx depende só de y e o de dy depende só de x, então podemos separar.

Passo 2

Primeiro escrevemos em forma separável. Dividindo por l(e^y+1r)^2e^-y,l(e^x+1r)^3e^-x temos
dxl(e^x+1r)^3e^-x ;=; -, dyl(e^y+1r)^2e^-y
ou, reorganizando,
e^xl(e^x+1r)^3,dx ;=; -,e^yl(e^y+1r)^2,dy

Passo 3

Agora integramos os dois lados. À esquerda fazemos a substituição
u=e^x+1, logo du=e^xdx. Então
integral e^xl(e^x+1r)^3,dx =integral 1u^3,du =-12u^2+C1 =-12,(e^x+1)^2+C1

Passo 4

À direita fazemos a substituição
v=e^y+1, logo dv=e^ydy. Então
integral -,e^yl(e^y+1r)^2,dy =-integral 1v^2,dv = 1v+C2 =1e^y+1+C2

Passo 5

Igualando as duas primitivadas (absorvendo C1-C2 num só C) obtemos
-12,(e^x+1)^2 =1e^y+1+C
Multiplicando tudo por -2 e renomeando a constante geral, chega-se à forma implícita
1(e^x+1)^2 ;+; 2e^y+1 ;=; widetilde C

Resposta

boxed 1(e^x+1)^2 ;+; 2e^y+1 =C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados