resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
Nos problemas 1-22:
x(1+y^2)^1 / 2 d x=y(1+x^2)^1 / 2 d y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
xraiz1+y^2;dx ;=; yraiz1+x^2;dy
e pede para resolver por separação de variáveis. Vamos precisar apenas reescrever em termos de x de um lado e y do outro, e em seguida calcular duas integrais do tipo
integral xraiz1+x^2,dx e integral yraiz1+y^2,dy.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por raiz1+x^2,raiz1+y^2, separamos as variáveis:
xraiz1+x^2,dx ;=; yraiz1+y^2,dy

Passo 3

Integramos cada lado:
integral xraiz1+x^2,dx ;=; integral yraiz1+y^2,dy

Passo 4

Cada integral é direta por substituição u=1+x^2 ou u=1+y^2:
integral xraiz1+x^2,dx = raiz1+x^2 + C1, integral yraiz1+y^2,dy = raiz1+y^2 + C2
Igualando e absorvendo as constantes numa só C=C2 - C1, obtemos
raiz1+x^2 = raiz1+y^2 + C

Passo 5

Reescrevendo numa forma simétrica e indicando a constante geral, a solução implícita fica
raiz1+y^2 ;-;raiz1+x^2 = C

Resposta

boxedraiz1+y^2 - raiz1+x^2 = C,
onde C é constante de integração.

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