Ache os extremos e os pontos de sela.
f(x, y)=12 x^2+2 x y-12 y^2+x-8 y

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos e pontos de sela da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{1}{2}x{2}+2xy-\frac{1}{2}y{2}+x-8y
Isso envolve cálculo de pontos críticos onde o gradiente é zero e, em seguida, classificação usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial fpartial x=x+2y+1=0
partial fpartial y=2x-y-8=0

Passo 3

Resolvendo o sistema
x+2y+1=0 2x-y-8=0
Da segunda equação vem y=2x-8. Substituindo na primeira:
x+2(2x-8)+1=0implies5x-15=0implies x=3
Logo y=2cdot3-8=-2. O único ponto crítico é (3,-2).

Passo 4

Para classificar esse ponto, montamos a matriz Hessiana:
H= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 =1 & 22 & -1
O determinante é
D=1cdot(-1)-2cdot2=-5<0
Como D<0, a Hessiana é indefinida e o ponto (3,-2) é um ponto de sela.

Resposta

A função não possui extremos locais, tendo apenas um ponto de sela em (3, -2).

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