O enunciado pede para achar os extremos e pontos de sela da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{1}{2}x{2}+2xy-\frac{1}{2}y{2}+x-8y
Isso envolve cálculo de pontos críticos onde o gradiente é zero e, em seguida, classificação usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 3
Resolvendo o sistema
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:
Logo . O único ponto crítico é .
Passo 4
Para classificar esse ponto, montamos a matriz Hessiana:
O determinante é
D=1cdot(-1)-2cdot2=-5<0
Como D<0, a Hessiana é indefinida e o ponto (3,-2) é um ponto de sela.
Resposta
A função não possui extremos locais, tendo apenas um ponto de sela em (3, -2).