Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla ∬_D e{-x2 - y^2} dA, onde D é o semicírculo de raio 2 no lado direito (x ≥ 0). O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando o jacobiano, e integração em r e θ.
Passo 2
Para passar para coordenadas polares, usamos as fórmulas x = r\cosθ, y = r\sinθ e o elemento de área dA = r,dr,dθ.
Em coordenadas polares, a região D (semidisco de raio 2 para x ≥ 0) corresponde a r variando de 0 a 2 e θ de -π/2 até π/2. Então a integral fica
Em coordenadas polares, a região D (semidisco de raio 2 para x ≥ 0) corresponde a r variando de 0 a 2 e θ de -π/2 até π/2. Então a integral fica
Passo 3
Primeiro calculamos a integral interna em r. Fazendo a substituição u = r^2, temos du = 2r,dr e portanto
Passo 4
Agora integramos em θ:
Passo 5
Multiplicando os resultados das integrais em r e em θ obtemos a resposta final.