Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD e^-x^x-y^2 d A, onde D é a região limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla ∬_D e{-x2 - y^2} dA, onde D é o semicírculo de raio 2 no lado direito (x ≥ 0). O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando o jacobiano, e integração em r e θ.

Passo 2

Para passar para coordenadas polares, usamos as fórmulas x = r\cosθ, y = r\sinθ e o elemento de área dA = r,dr,dθ.
Em coordenadas polares, a região D (semidisco de raio 2 para x ≥ 0) corresponde a r variando de 0 a 2 e θ de -π/2 até π/2. Então a integral fica
integralθ=-π2^π2 integralr=0^2 e^-r^2 ,r,dr,dθ

Passo 3

Primeiro calculamos a integral interna em r. Fazendo a substituição u = r^2, temos du = 2r,dr e portanto
integral0^2 e^-r^2 r,dr = 12 integralu=0^4 e^-u ,du = 12l[-e^-ur]0^4 = 12l(1 - e^-4r)

Passo 4

Agora integramos em θ:
integral-π2^π2 dθ = l[θr]-π2^π2 = π

Passo 5

Multiplicando os resultados das integrais em r e em θ obtemos a resposta final.

Resposta

π2l(1 - e^-4r)

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