Em cada um dos casos a seguir, determine o limite l para o a dado, e prove que é o limite mostrando como encontrar um de tal que |f(x)-l| para todo x satisfazendo 0<|x-a|.
f(x)=x^22-sin ^2(x), a=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de
f(x)=x^22-sin^2(x)
quando xto0 e depois provar rigorosamente, usando a definição de limite ( varepsilon- de), que esse valor é de fato o limite. Vamos usar conceitos de análise real, como estimativas de funções trigonométricas e a definição de limite.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição direta para descobrir o candidato a limite. Como sin^2(0)=0, temos
$$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{x{2}}{2-\sin{2}(x)}=\frac{0^{2}}{2-0}=0.
$$Logo, o valor limxto0f(x)=limxto0x^22-sin^2(x)=0^22-0=0 que esperamos é l.

Passo 3

Agora precisamos mostrar que, dado qualquer varepsilon>0, existe de0 tal que
0<|x-0|Usamos o fato de que para todo x real vale |sin(x)|<=|x|, logo
sin^2(x)<= x^2 Se tomarmos |x|<1, então x^2<1 e assim
2-sin^2(x)>= 2- x^2>2-1=1

Passo 4

Com essa estimativa do denominador, temos para 0<|x|<1:
l|x^22-sin^2(x)r|=x^22-sin^2(x)<=x^21=x^2 Portanto, bastará controlar x^2.

Passo 5

Escolhemos
deEntão, sempre que 0<|x|, garantimos que |x|<1 e |x|. Assim,
l|f(x)-0r|=l|x^22-sin^2(x)r|<= x^2
Isso completa a prova de que limxto0f(x)=0 no sentido de varepsilon- de.

Resposta

l = 0

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