Ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
10.
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Passo 1
Enunciado e o que se pede.
A função dada é
O problema pede:
- Encontrar os extremos relativos (máximos e mínimos) usando o teste da derivada segunda quando aplicável; se o teste da derivada segunda não for aplicável, usar o teste da derivada primeira.
- Usar a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico.
- Determinar onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
- Fazer um esboço do gráfico (descrição do esboço com pontos importantes).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
(acima). - Não há restrição de domínio escrita, logo o domínio é todo
.
Passo 2
Calcular a primeira derivada
e achar os pontos críticos.
Regra usada (mini-aula): a regra do poder diz que a derivada de é
. Se há um fator constante
, a derivada de
é
.
Regra usada (mini-aula): a regra do poder diz que a derivada de
Aplicando à nossa função:
Fatorando para ver os zeros:
Os pontos críticos vêm de
(ou onde
não existe, mas aqui
existe em todo lugar). Assim:
Passo 3
Calcular a segunda derivada
(para usar o teste da derivada segunda e para concavidade/pontos de inflexão).
Derivando termo a termo:
Derivando
Fatorando:
Os pontos onde
são
e
. Esses são candidatos a pontos de inflexão (precisamos checar mudança de concavidade).
Passo 4
Aplicar o teste da derivada segunda nos pontos críticos
(onde
é diferente de zero) e verificar o caso
(onde
).
Mini-aula rápida sobre o teste: se e
então
tem um mínimo local em
; se
então tem um máximo local; se
o teste é inconclusivo e usamos o teste da primeira derivada (analisando sinal de
).
Mini-aula rápida sobre o teste: se
Calcule
nos pontos
. Como
nesses pontos, podemos usar a forma fatorada:
Para
temos
. Então
Portanto:
- Em
temos (positivo) → mínimo local. - Em
temos (negativo) → máximo local.
Para
temos
, então o teste da segunda derivada não decide; usaremos o teste da primeira derivada (Passo 6).
Passo 5
Calcular os valores de
nos pontos críticos (para dar coordenadas completas dos extremos).
Fatorando para facilitar avaliação:
Fatorando
Para
temos
, então
. Assim
Como
, temos
Portanto:
Aproximações úteis para o esboço:
e
. Logo o máximo local é aproximadamente
e o mínimo local é aproximadamente
. E
.
Passo 6
Classificar o ponto crítico
usando o teste da primeira derivada.
Temos a expressão fatorada de :
Temos a expressão fatorada de
Observação importante (mini-aula):
para todo
, então o sinal de
vem essencialmente do fator
. Esse fator é negativo quando
e positivo quando
.
Logo o sinal de
é:
- Para
: (função crescente). - Para
(exceto em ): (função decrescente).
Isto implica que, ao passar por, é negativo tanto à esquerda quanto à direita (nenhuma troca de sinal de ). Portanto não é máximo nem mínimo; é um ponto crítico horizontal onde a derivada é zero mas não há extremum (muitas vezes chamado de ponto de inflexão horizontal ou ponto de sela, dependendo da concavidade).
Passo 7
Encontrar pontos de inflexão e estudar troca de concavidade (usar
).
Pontos onde :
. Precisamos verificar se há troca de sinal de
em cada zero para confirmar ponto de inflexão.
Pontos onde
Analise de sinal (mini-aula): o sinal de
determina concavidade:
concavo para cima;
concavo para baixo. Use a forma fatorada para ver sinais nos intervalos determinados por
.
- Para
: e ⇒ (côncavo para baixo). - Para
: e ⇒ (côncavo para cima). - Para
: e ⇒ (côncavo para baixo). - Para
: e ⇒ (côncavo para cima).
Portanto há troca de concavidade em cada um dos pontos
. Concluímos que todos os três são pontos de inflexão.
Calcular valores de
nesses pontos (útil para o esboço). Para
usamos a fatoração
e obtemos, após simplificação:
Aproximação numérica:
e
. Logo
e
.
Passo 8
Resumir intervalos de concavidade e comportamento da função (mini-aula sobre comportamento para esboço).
Concavidade:
Concavidade:
Comportamento para
: o termo dominante é
(grau ímpar com coeficiente positivo), logo
Zeros (interceptos no eixo
): fatorando
temos
, então as raízes são
Ordenando pontos importantes na reta
:
Passo 9
Descrição do esboço (como desenhar na prova, passo a passo):
- Comece com os extremos: ponto de máximo em
com ; ponto de mínimo em com . - Marque as raízes em
. - Marque os pontos de inflexão em
com valores e . - Considere comportamento nas extremidades: vai para
à esquerda e para à direita. - Ligue os pontos respeitando os intervalos de concavidade indicados: à esquerda de
a curva é decrescente/concava para baixo até o zero em , sobe até o máximo em , muda concavidade em , passa pela origem (inflexão horizontal), atinge o mínimo em , cruza novamente em e segue para . - Esse esboço é simétrico em certo sentido de mudança de sinal, mas não exatamente simétrico em relação à origem (a função é ímpar? verificar:
— de fato, é função ímpar, então o gráfico tem simetria ímpar em relação à origem).
Resposta
Máximo relativo:
Mínimo relativo:
O ponto é ponto crítico com
, mas não é extremo (derivada muda de negativo para negativo).
Pontos de inflexão: com valores
.
Côncavo para cima em .
Côncavo para baixo em .
Esboço (descrição): zeros em ; máximo em
com
; mínimo em
com
; pontos de inflexão em
e
; gráfico vai a
à esquerda e a
à direita (respeitar concavidades e posições indicadas acima).
Mínimo relativo:
O ponto
Pontos de inflexão:
Côncavo para cima em
Côncavo para baixo em
Esboço (descrição): zeros em