Ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
10. f(x)=\frac{1}{3} x^{5}-\frac{2}{3} x^{3}

Passo 1

Enunciado e o que se pede.
A função dada é f(x)=\frac{1}{3}x^{5}-\frac{2}{3}x^{3}.
O problema pede:
  • Encontrar os extremos relativos (máximos e mínimos) usando o teste da derivada segunda quando aplicável; se o teste da derivada segunda não for aplicável, usar o teste da derivada primeira.
  • Usar a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico.
  • Determinar onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
  • Fazer um esboço do gráfico (descrição do esboço com pontos importantes).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f(x) (acima).
  • Não há restrição de domínio escrita, logo o domínio é todo \mathbb{R}.

Passo 2

Calcular a primeira derivada f'(x) e achar os pontos críticos.
Regra usada (mini-aula): a regra do poder diz que a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Se há um fator constante a, a derivada de a\cdot x^{n} é a\cdot n x^{n-1}.
Aplicando à nossa função:
f(x)=\frac{1}{3}x^{5}-\frac{2}{3}x^{3}
f'(x)=\frac{1}{3}\cdot 5x^{4}-\frac{2}{3}\cdot 3x^{2}=\frac{5}{3}x^{4}-2x^{2}.
Fatorando para ver os zeros:
f'(x)=x^{2}\!\left(\frac{5}{3}x^{2}-2\right)=\frac{1}{3}x^{2}(5x^{2}-6).
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 (ou onde f' não existe, mas aqui f' existe em todo lugar). Assim:
x^{2}=0 \Rightarrow x=0,
5x^{2}-6=0 \Rightarrow x^{2}=\frac{6}{5}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{6}{5}}.

Passo 3

Calcular a segunda derivada f''(x) (para usar o teste da derivada segunda e para concavidade/pontos de inflexão).
Derivando f'(x)=\frac{5}{3}x^{4}-2x^{2} termo a termo:
f''(x)=\frac{20}{3}x^{3}-4x.
Fatorando:
f''(x)=x\!\left(\frac{20}{3}x^{2}-4\right)=\frac{4}{3}x(5x^{2}-3).
Os pontos onde f''(x)=0 são x=0 e 5x^{2}-3=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{3}{5}}. Esses são candidatos a pontos de inflexão (precisamos checar mudança de concavidade).

Passo 4

Aplicar o teste da derivada segunda nos pontos críticos \pm\sqrt{\frac{6}{5}} (onde f'' é diferente de zero) e verificar o caso x=0 (onde f''(0)=0).
Mini-aula rápida sobre o teste: se f'\text{(c)}=0 e f''\text{(c)}>0 então f tem um mínimo local em c; se f''\text{(c)}<0 então tem um máximo local; se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo e usamos o teste da primeira derivada (analisando sinal de f').
Calcule f'' nos pontos \pm\sqrt{\frac{6}{5}}. Como x^{2}=\frac{6}{5} nesses pontos, podemos usar a forma fatorada:
f''(x)=\frac{4}{3}x(5x^{2}-3).
Para x^{2}=\frac{6}{5} temos 5x^{2}-3=5\cdot\frac{6}{5}-3=6-3=3. Então
f''\!\left(\pm\sqrt{\frac{6}{5}}\right)=\frac{4}{3}\left(\pm\sqrt{\frac{6}{5}}\right)\cdot 3=4\left(\pm\sqrt{\frac{6}{5}}\right)=4x.
Portanto:
  • Em x=+\sqrt{\frac{6}{5}} temos f''>0 (positivo) → mínimo local.
  • Em x=-\sqrt{\frac{6}{5}} temos f''<0 (negativo) → máximo local.
Para x=0 temos f''(0)=0, então o teste da segunda derivada não decide; usaremos o teste da primeira derivada (Passo 6).

Passo 5

Calcular os valores de f nos pontos críticos (para dar coordenadas completas dos extremos).
Fatorando f para facilitar avaliação:
f(x)=\frac{1}{3}x^{5}-\frac{2}{3}x^{3}=\frac{1}{3}x^{3}(x^{2}-2).
Para x=\pm\sqrt{\frac{6}{5}} temos x^{2}=\frac{6}{5}, então x^{2}-2=\frac{6}{5}-2=-\frac{4}{5}. Assim
f\!\left(x\right)=\frac{1}{3}x^{3}\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{4}{15}x^{3}.
Como x^{3}=x\cdot x^{2}=x\cdot\frac{6}{5}, temos
f\!\left(\pm\sqrt{\frac{6}{5}}\right)=-\frac{4}{15}\left(\pm\sqrt{\frac{6}{5}}\right)\cdot\frac{6}{5}=-\frac{24}{75}\left(\pm\sqrt{\frac{6}{5}}\right)=-\frac{8}{25}\left(\pm\sqrt{\frac{6}{5}}\right).
Portanto:
f\!\left(\sqrt{\frac{6}{5}}\right)=-\frac{8}{25}\sqrt{\frac{6}{5}}\quad(\text{valor negativo}),
f\!\left(-\sqrt{\frac{6}{5}}\right)=+\frac{8}{25}\sqrt{\frac{6}{5}}\quad(\text{valor positivo}).
Aproximações úteis para o esboço: \sqrt{\tfrac{6}{5}}\approx 1,0954 e \frac{8}{25}\sqrt{\tfrac{6}{5}}\approx 0,3505. Logo o máximo local é aproximadamente \left(-1,0954;\;0,3505\right) e o mínimo local é aproximadamente \left(1,0954;\;-0,3505\right). E f(0)=0.

Passo 6

Classificar o ponto crítico x=0 usando o teste da primeira derivada.
Temos a expressão fatorada de f'(x):
f'(x)=x^{2}\!\left(\frac{5}{3}x^{2}-2\right).
Observação importante (mini-aula): x^{2}\ge 0 para todo x, então o sinal de f'(x) vem essencialmente do fator \frac{5}{3}x^{2}-2. Esse fator é negativo quando x^{2}<\frac{6}{5} e positivo quando x^{2}>\frac{6}{5}.
Logo o sinal de f' é:
  • Para |x|>\sqrt{\tfrac{6}{5}}: f'(x)>0 (função crescente).
  • Para |x|<\sqrt{\tfrac{6}{5}} (exceto em x=0): f'(x)<0 (função decrescente).
    Isto implica que, ao passar por x=0, f' é negativo tanto à esquerda quanto à direita (nenhuma troca de sinal de f'). Portanto x=0 não é máximo nem mínimo; é um ponto crítico horizontal onde a derivada é zero mas não há extremum (muitas vezes chamado de ponto de inflexão horizontal ou ponto de sela, dependendo da concavidade).

Passo 7

Encontrar pontos de inflexão e estudar troca de concavidade (usar f''(x)=\frac{4}{3}x(5x^{2}-3)).
Pontos onde f''(x)=0: x=-\sqrt{\frac{3}{5}},\;x=0,\;x=+\sqrt{\frac{3}{5}}. Precisamos verificar se há troca de sinal de f'' em cada zero para confirmar ponto de inflexão.
Analise de sinal (mini-aula): o sinal de f'' determina concavidade: f''>0 concavo para cima; f''<0 concavo para baixo. Use a forma fatorada para ver sinais nos intervalos determinados por -\sqrt{\tfrac{3}{5}},0,\sqrt{\tfrac{3}{5}}.
  • Para x<-\sqrt{\tfrac{3}{5}}: x<0 e 5x^{2}-3>0 f''<0 (côncavo para baixo).
  • Para -\sqrt{\tfrac{3}{5}}<x<0: x<0 e 5x^{2}-3<0 f''>0 (côncavo para cima).
  • Para 0<x<\sqrt{\tfrac{3}{5}}: x>0 e 5x^{2}-3<0 f''<0 (côncavo para baixo).
  • Para x>\sqrt{\tfrac{3}{5}}: x>0 e 5x^{2}-3>0 f''>0 (côncavo para cima).
Portanto há troca de concavidade em cada um dos pontos x=-\sqrt{\tfrac{3}{5}},0,\sqrt{\tfrac{3}{5}}. Concluímos que todos os três são pontos de inflexão.
Calcular valores de f nesses pontos (útil para o esboço). Para x^{2}=\frac{3}{5} usamos a fatoração f(x)=\frac{1}{3}x^{3}(x^{2}-2) e obtemos, após simplificação:
f\!\left(\pm\sqrt{\frac{3}{5}}\right)=\mp\frac{7}{25}\sqrt{\frac{3}{5}}.
Aproximação numérica: \sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx 0,7746 e \frac{7}{25}\sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx 0,2169. Logo
f\!\left(-\sqrt{\tfrac{3}{5}}\right)\approx +0,2169,\qquad f\!\left(\sqrt{\tfrac{3}{5}}\right)\approx -0,2169,
e f(0)=0.

Passo 8

Resumir intervalos de concavidade e comportamento da função (mini-aula sobre comportamento para esboço).
Concavidade:
\text{côncavo para cima em }\left(-\sqrt{\tfrac{3}{5}},0\right)\cup\left(\sqrt{\tfrac{3}{5}},+\infty\right),ô
\text{côncavo para baixo em }\left(-\infty,-\sqrt{\tfrac{3}{5}}\right)\cup\left(0,\sqrt{\tfrac{3}{5}}\right).ô
Comportamento para x\to\pm\infty: o termo dominante é \tfrac{1}{3}x^{5} (grau ímpar com coeficiente positivo), logo
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Zeros (interceptos no eixo x): fatorando f temos f(x)=\frac{1}{3}x^{3}(x^{2}-2), então as raízes são
x=0\\ (\text{multiplicidade }3),\quad x=\pm\sqrt{2}\\ (\approx\pm1,4142).
Ordenando pontos importantes na reta x:
-\infty,\; -\sqrt{2}\approx-1,414,\; -\sqrt{\tfrac{6}{5}}\approx-1,095\\ (\text{máx}),\; -\sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx-0,775\\ (\text{inflexão}),\; 0\\ (\text{inflexão horizontal}),\; \sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx0,775\\ (\text{inflexão}),\; \sqrt{\tfrac{6}{5}}\approx1,095\\ (\text{mín}),\; \sqrt{2}\approx1,414,\; +\infty.áãããí

Passo 9

Descrição do esboço (como desenhar na prova, passo a passo):
  • Comece com os extremos: ponto de máximo em x=-\sqrt{\tfrac{6}{5}} com y\approx 0,3505; ponto de mínimo em x=+\sqrt{\tfrac{6}{5}} com y\approx -0,3505.
  • Marque as raízes em x=-\sqrt{2},0,\sqrt{2}.
  • Marque os pontos de inflexão em x=-\sqrt{\tfrac{3}{5}},0,\sqrt{\tfrac{3}{5}} com valores y\approx \pm 0,2169 e 0.
  • Considere comportamento nas extremidades: vai para -\infty à esquerda e para +\infty à direita.
  • Ligue os pontos respeitando os intervalos de concavidade indicados: à esquerda de -\sqrt{\tfrac{3}{5}} a curva é decrescente/concava para baixo até o zero em -\sqrt{2}, sobe até o máximo em -\sqrt{\tfrac{6}{5}}, muda concavidade em -\sqrt{\tfrac{3}{5}}, passa pela origem (inflexão horizontal), atinge o mínimo em +\sqrt{\tfrac{6}{5}}, cruza novamente em +\sqrt{2} e segue para +\infty.
  • Esse esboço é simétrico em certo sentido de mudança de sinal, mas não exatamente simétrico em relação à origem (a função é ímpar? verificar: f(-x)=-f(x) — de fato, f é função ímpar, então o gráfico tem simetria ímpar em relação à origem).

Resposta

Máximo relativo: \displaystyle\left(-\sqrt{\tfrac{6}{5}},\;\frac{8}{25}\sqrt{\tfrac{6}{5}}\right)\approx\left(-1,0954,\;0,3505\right)
Mínimo relativo: \displaystyle\left(\sqrt{\tfrac{6}{5}},\;-\frac{8}{25}\sqrt{\tfrac{6}{5}}\right)\approx\left(1,0954,\;-0,3505\right)
O ponto x=0 é ponto crítico com f(0)=0, mas não é extremo (derivada muda de negativo para negativo).
Pontos de inflexão: \displaystyle x=-\sqrt{\tfrac{3}{5}},\;0,\;\sqrt{\tfrac{3}{5}} com valores f\!\left(-\sqrt{\tfrac{3}{5}}\right)=\frac{7}{25}\sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx 0,2169,\;f(0)=0,\;f\!\left(\sqrt{\tfrac{3}{5}}\right)=-\frac{7}{25}\sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx -0,2169.
Côncavo para cima em \displaystyle\left(-\sqrt{\tfrac{3}{5}},0\right)\cup\left(\sqrt{\tfrac{3}{5}},+\infty\right).
Côncavo para baixo em \displaystyle\left(-\infty,-\sqrt{\tfrac{3}{5}}\right)\cup\left(0,\sqrt{\tfrac{3}{5}}\right).
Esboço (descrição): zeros em x=-\sqrt{2},0,\sqrt{2}; máximo em -1,0954 com y\approx0,3505; mínimo em 1,0954 com y\approx-0,3505; pontos de inflexão em \pm0,7746 e 0; gráfico vai a -\infty à esquerda e a +\infty à direita (respeitar concavidades e posições indicadas acima).

Exercícios relacionados