Ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
14. g(t)=(t-2)^{1 / 3}
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a função g: encontrar extremos relativos (usando o teste da derivada segunda quando aplicável e, se não for, usar o teste da derivada primeira), encontrar pontos de inflexão e os intervalos de concavidade, e fazer um esboço do gráfico. A função dada é
g(t)=(t-2)^{1/3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{função } g(t)=(t-2)^{1/3}\quad\text{(domínio implícito: todos os }t\in\mathbb{R}\text{)}.
Nenhuma figura adicional foi fornecida. A tarefa é analisar derivadas, monotonicidade, concavidade e esboçar o gráfico.
Passo 2
Determinar domínio e valor em pontos importantes.
A função g(t)=(t-2)^{1/3} é a raiz cúbica deslocada de t por 2. A raiz cúbica está definida para todo número real, portanto o domínio é (-\infty,\infty). Em particular,
g(2)=(2-2)^{1/3}=0.
Observação: é importante perceber que a função é contínua em todo \mathbb{R}, inclusive em t=2.
Passo 3
Calcular a primeira derivada g'(t) e explicar a regra usada.
Regra usada: a regra da potência diz que, para f(t)=t^{\alpha} com \alpha qualquer real, temos f'(t)=\alpha t^{\alpha-1}. Aqui aplicamos a regra da potência à função composta (t-2)^{1/3}; a derivada de t-2 é 1, então
g'(t)=\frac{1}{3}(t-2)^{-2/3}.
Explicando os termos: o coeficiente \tfrac{1}{3} vem do expoente original 1/3, e a nova potência é (1/3)-1=-2/3.
Análise de pontos críticos: pontos críticos são onde g'(t)=0 ou onde g'(t) é indefinida. Observamos:
\frac{1}{3}(t-2)^{-2/3} nunca é zero para t\neq2, porque uma potência real não nula multiplicada por \tfrac{1}{3} não se anula.
g'(t) é indefinida em t=2 (porque (t-2)^{-2/3} diverge quando t\to2).
Portanto o único ponto crítico é t=2, mas aí g' é indefinida (não zero).
Passo 4
Decidir qual teste usar para extremos e aplicar o teste da derivada primeira (porque a derivada segunda exige g' definida no ponto crítico e/ou g'(t)=0 para aplicar a forma padrão).
Estratégia: verificar o sinal de g'(t) à esquerda e à direita de t=2.
Cálculo do sinal de g'(t):
g'(t)=\frac{1}{3}(t-2)^{-2/3}.
Para t\neq2 a quantidade (t-2)^{-2/3} é positiva: primeiro (t-2)^{1/3} tem sinal igual ao de t-2, mas ao elevar ao quadrado (o expoente negativo -2/3 implica na fator 1/((t-2)^{2/3})) o resultado fica não negativo; na verdade é estritamente positivo para t\neq2. Logo para qualquer t<2 temos (t-2)^{-2/3}>0, e para qualquer t>2 também (t-2)^{-2/3}>0. Multiplicando por \tfrac{1}{3}>0 obtemos
g'(t)>0\quad\text{para todo }t\neq2.
Conclusão pelo teste da derivada primeira: a função é estritamente crescente em ambos osintervalos (-\infty,2) e (2,\infty). Como g'(t) é positiva tanto à esquerda quanto à direita de t=2, não há mudança de crescimento para decrescimento nem o contrário em t=2. Portanto t=2 não é um ponto de máximo nem mínimo relativo. Concluímos que a função não tem extremos relativos.
Comentário intuitivo: mesmo com derivada indefinida em t=2, o sinal de g' mostra que a curva passa por t=2 continuando a subir — é uma espécie de “ponto com tangente vertical” mas sem extremum.
Passo 5
Calcular a segunda derivada g''(t) e explicar a regra usada.
Derivando g'(t)=\tfrac{1}{3}(t-2)^{-2/3} usando novamente a regra da potência:
Interpretação: o fator -\tfrac{2}{9} é constante, e a potência (t-2)^{-5/3} determina o comportamento em torno de t=2. Note que g''(t) também é indefinida em t=2.
Passo 6
Analisar o sinal de g''(t) para determinar concavidade e pontos de inflexão.
Devemos avaliar o sinal de (t-2)^{-5/3}. Esclarecimento sobre potências fracionárias com numerador ímpar: (t-2)^{1/3} tem o mesmo sinal de t-2. Assim (t-2)^{5/3}=\big((t-2)^{1/3}\big)^{5} tem o mesmo sinal de t-2 (porque 5 é ímpar). Portanto:
Se t>2 então (t-2)^{5/3}>0, logo (t-2)^{-5/3}>0. Assim
Isto significa que g é côncava para cima em (-\infty,2).
Há uma mudança de concavidade em t=2 (de côncava para cima para côncava para baixo) e a função é contínua em t=2, logo t=2 é um ponto de inflexão. Mesmo que g' e g'' sejam indefinidas em t=2, a mudança de sinal de g'' confirma o ponto de inflexão.
Observação sobre a tangente em t=2: como g'(t)\to+\infty quando t\to2, a reta tangente é vertical em t=2 — isto é, a curva tem uma “verticalidade” forte ali, característica da raiz cúbica com deslocamento.
Passo 7
Resumo qualitativo e esboço do gráfico (instruções para desenhar à mão).
A curva é estritamente crescente em todo \mathbb{R}.
Em (-\infty,2) a curva é côncava para cima; em (2,\infty) é côncava para baixo.
Em t=2 temos o ponto (2,0), que é ponto de inflexão; a tangente em t=2 é vertical (derivada tende a +\infty).
Para esboçar:
Marque o ponto (2,0).
Para t\ll2 a curva sobe lentamente e é côncava para cima (parecida com a parte esquerda do gráfico de y=x^{1/3} deslocado).
Ao se aproximar de t=2 pela esquerda, a inclinação aumenta (tende a +\infty): a curva fica cada vez mais vertical à medida que chega a (2,0).
À direita de t=2 a curva continua subindo, agora côncava para baixo, saindo verticalmente para cima e depois alisando à medida que t aumenta.
O formato é o clássico da função raiz cúbica: uma curva que atravessa o ponto de inflexão com tangente vertical, crescentemente suave para os lados.
Resposta
Extremos relativos: nenhum.
Ponto de inflexão: (2,0).
Côncava para cima em (-\infty,2).
Côncava para baixo em (2,\infty).
Esboço: curva estritamente crescente, com ponto de inflexão em (2,0) e tangente vertical em t=2 (forma típica de y=(t-2)^{1/3}).