Ache ∇ × Fe ∇ · F.
F(x, y, z)=x^{2} z i+y^{2} x j+(y+2 z) k

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular \nabla\times F (o rotor de F) e \nabla\cdot F (a divergência de F). A função vetorial dada é
F(x,y,z)=x^{2}z\,\mathbf{i}+y^{2}x\,\mathbf{j}+(y+2z)\,\mathbf{k}.
Das componentes do campo extraímos explicitamente:
F_{1}(x,y,z)=x^{2}z,\qquad F_{2}(x,y,z)=y^{2}x,\qquad F_{3}(x,y,z)=y+2z.
Estas são todas as informações relevantes do enunciado; agora vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a divergência. Vou explicar o conceito e a fórmula: a divergência de um campo vetorial F=(F_{1},F_{2},F_{3}) é a soma das derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente. A fórmula é
\nabla\cdot F=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.
Aqui cada derivada parcial significa: derivar a componente em relação àquela variável, tratando as outras variáveis como constantes. Vou calcular cada termo devagar.

Passo 3

Calculemos \frac{\partial F_{1}}{\partial x} com F_{1}(x,y,z)=x^{2}z. Ao derivar em relação a x mantemos z como constante, portanto é como derivar x^{2} e multiplicar por z:
\frac{\partial F_{1}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}z)=2x\,z.
Agora \frac{\partial F_{2}}{\partial y} com F_{2}(x,y,z)=y^{2}x. Ao derivar em relação a y tratamos x como constante:
\frac{\partial F_{2}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}x)=2y\,x.
Finalmente \frac{\partial F_{3}}{\partial z} com F_{3}(x,y,z)=y+2z. Derivando em relação a z ( y é constante) obtemos:
\frac{\partial F_{3}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y+2z)=2.

Passo 4

Somando os três termos obtemos a divergência:
\nabla\cdot F = 2xz + 2xy + 2.
Podemos factorar um 2 para ficar mais compacto:
\nabla\cdot F = 2\,(xz+xy+1).
Interpretação rápida e prática: a divergência mede, localmente, a taxa de “saída” do fluxo do campo por unidade de volume; aqui ela depende de x,y,z através dos produtos xz e xy mais uma constante 1.

Passo 5

Agora vamos ao rotor (curl). Vou dar a fórmula em componentes para F=(F_{1},F_{2},F_{3}):
\nabla\times F=\bigg(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\;\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\;\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\bigg).
Isso significa que cada componente do rotor é a diferença entre certas derivadas parciais. Vou calcular cada derivada necessária, uma a uma.

Passo 6

Calcule as derivadas para a primeira componente do rotor:
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y+2z)=1,
\frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y^{2}x)=0
(porque y^{2}x não depende de z). Portanto a primeira componente é
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}=1-0=1.

Passo 7

Segunda componente do rotor:
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}z)=x^{2}
(porque ao derivar em z tratamos x^{2} como constante),
\frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y+2z)=0
(porque F_{3} não depende de x). Logo a segunda componente é
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}=x^{2}-0=x^{2}.

Passo 8

Terceira componente do rotor:
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}x)=y^{2},
\frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}z)=0
(porque x^{2}z não depende de y). Portanto a terceira componente é
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}=y^{2}-0=y^{2}.

Passo 9

Juntando as três componentes obtemos o rotor completo:
\nabla\times F = 1\,\mathbf{i}+x^{2}\,\mathbf{j}+y^{2}\,\mathbf{k}.
Como verificação rápida (e uma identidade útil): a divergência do rotor deve ser zero; calcular \nabla\cdot(\nabla\times F)=\frac{\partial}{\partial x}(1)+\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial z}(y^{2})=0+0+0=0, que confirma essa propriedade aqui.

Resposta

\nabla\times F = 1\,\mathbf{i}+x^{2}\,\mathbf{j}+y^{2}\,\mathbf{k}
\nabla\cdot F = 2xz+2xy+2 = 2\,(xz+xy+1)

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