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F(x, y, z)=x^{2} z i+y^{2} x j+(y+2 z) k
F(x, y, z)=x^{2} z i+y^{2} x j+(y+2 z) k
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular
(o rotor de
) e
(a divergência de
). A função vetorial dada é
Das componentes do campo extraímos explicitamente:
Estas são todas as informações relevantes do enunciado; agora vamos calcular passo a passo.
Passo 2
Primeiro vamos calcular a divergência. Vou explicar o conceito e a fórmula: a divergência de um campo vetorial
é a soma das derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente. A fórmula é
Aqui cada derivada parcial significa: derivar a componente em relação àquela variável, tratando as outras variáveis como constantes. Vou calcular cada termo devagar.
Passo 3
Calculemos
com
. Ao derivar em relação a
mantemos
como constante, portanto é como derivar
e multiplicar por
:
Agora
com
. Ao derivar em relação a
tratamos
como constante:
Finalmente
com
. Derivando em relação a
(
é constante) obtemos:
Passo 4
Somando os três termos obtemos a divergência:
Podemos factorar um
para ficar mais compacto:
Interpretação rápida e prática: a divergência mede, localmente, a taxa de “saída” do fluxo do campo por unidade de volume; aqui ela depende de
através dos produtos
e
mais uma constante
.
Passo 5
Agora vamos ao rotor (curl). Vou dar a fórmula em componentes para
:
Isso significa que cada componente do rotor é a diferença entre certas derivadas parciais. Vou calcular cada derivada necessária, uma a uma.
Passo 6
Calcule as derivadas para a primeira componente do rotor:
(porque
não depende de
). Portanto a primeira componente é
Passo 7
Segunda componente do rotor:
(porque ao derivar em
tratamos
como constante),
(porque
não depende de
). Logo a segunda componente é
Passo 8
Terceira componente do rotor:
(porque
não depende de
). Portanto a terceira componente é
Passo 9
Juntando as três componentes obtemos o rotor completo:
Como verificação rápida (e uma identidade útil): a divergência do rotor deve ser zero; calcular
, que confirma essa propriedade aqui.