Ache o fluxo de F(x, y, z)=x i+y j+z k através da superfície S do sólido limitado por z=0, x^2+y^2=4 e x+y+z=3, com vetor n exterior.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial F(x,y,z)=x,i+y,j+z,k e pede o fluxo de F através da superfície fechada S que envolve o sólido V limitado por z=0, pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelo plano x+y+z=3. Vamos usar o Teorema da Divergência para transformar o cálculo de fluxo num integral de volume.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que, com n apontando para fora,
integral duplaSFcdot n,dS =integral triplaVnablacdotF,dV
Aqui basta calcular nablacdotF e integrar sobre V.

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
nablacdotF =partial xpartial x +partial ypartial y +partial zpartial z =1+1+1=3

Passo 4

Logo o fluxo será
integral duplaSFcdot n,dS =integral triplaV3,dV =3;Vol(V)
Para achar Vol(V), note que em cada ponto (x,y) do disco D:,x^2+y^2<=4, z varia de 0 até 3-(x+y). Assim
Vol(V) =integral duplaDl[integral0^,3-(x+y)dzr]dA =integral duplaDl(3-x-yr),dA

Passo 5

No disco D de raio 2 temos
integral duplaD(3-x-y),dA =3integral duplaDdA -integral duplaDx,dA -integral duplaDy,dA
Pela simetria integral duplaDx,dA=integral duplaDy,dA=0 e integral duplaDdA=picdot2^2=4pi. Logo
integral duplaD(3-x-y),dA =3cdot4pi=12pi
Portanto
Vol(V)=12pi Longrightarrow integral duplaSFcdot n,dS =3cdot12pi=36pi

Resposta

O fluxo de F através de S é 36pi.

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