Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial
é um campo gradiente, exibindo as funções potencial.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
é um campo gradiente, ou seja, que existe uma função escalar tal que
é um campo gradiente, ou seja, que existe uma função escalar
O domínio é
, que é simplesmente conexo, então basta verificar que o rotacional de
é zero e depois encontrar
por integração.
Passo 2
Calculamos o rotacional de
:
Como
nablatimesF=0 em
R^3 ,
F é conservativo.
Passo 3
Vamos achar
phi integrando as componentes de
F . Da igualdade
partialphi/partial x = 3 ,
integramos emx para obter
integramos em
onde
g é função de
y e
z .
Passo 4
Como também deve valer
partialphi/partial y = -2 , temos
Integrando em
y , vem
com
h função de
z .
Passo 5
Por fim, impomos
partialphi/partial z = 1 , ou seja,
Integrando em
z , obtemos
h(z)=z+C . Logo a função potencial geral é
Resposta
A função potencial é
phi(x,y,z)=3x -2y + z + C,
que paraC=0 pode ser escrita simplesmente como
phi(x,y,z)=3x-2y+z .
que para