Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial F é um campo gradiente, exibindo as funções potencial.
(a) F(x, y, z)=3 imath-2 jmath+k.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
F(x,y,z)=3imath-2jmath+k
é um campo gradiente, ou seja, que existe uma função escalar phi(x,y,z) tal que
nablaphi = F
O domínio é R^3, que é simplesmente conexo, então basta verificar que o rotacional de F é zero e depois encontrar phi por integração.

Passo 2

Calculamos o rotacional de F:
nablatimes F = imath & jmath & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z 3 & -2 & 1 = l(0-0r),imath - l(0-0r),jmath + l(0-0r),k = 0
Como nablatimesF=0 em R^3, F é conservativo.

Passo 3

Vamos achar phi integrando as componentes de F. Da igualdade
partialphi/partial x = 3,
integramos em x para obter
phi(x,y,z) = 3x + g(y,z),
onde g é função de y e z.

Passo 4

Como também deve valer partialphi/partial y = -2, temos
partialpartial yl(3x + g(y,z)r) = gy(y,z) = -2
Integrando em y, vem
g(y,z) = -2y + h(z),
com h função de z.

Passo 5

Por fim, impomos partialphi/partial z = 1, ou seja,
partialpartial zl(3x - 2y + h(z)r) = h'(z) = 1
Integrando em z, obtemos h(z)=z+C. Logo a função potencial geral é
phi(x,y,z) = 3x -2y + z + C

Resposta

A função potencial é
phi(x,y,z)=3x -2y + z + C,
que para C=0 pode ser escrita simplesmente como phi(x,y,z)=3x-2y+z.

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