Seja f: R^3 R tal que De<a f=x^2+y^2+z^2. Calcule o fluxo do gradiente de f através da esfera S: x^2+y^2+z^2=1, onde S está orientada com campo normal unitário n apontando para fora.

Passo 1

O enunciado diz que f:R^3toR satisfaz
De<a f = x^2 + y^2 + z^2
e pede o fluxo de nabla f através da esfera S:,x^2+y^2+z^2=1 com orientação externa.
Conteúdo: vamos usar o Teorema da Divergência para transformar o fluxo numa integral de volume e em seguida calcular essa integral em coordenadas esféricas.

Passo 2

Chamando V a bola unitária interior a S, o Teorema da Divergência dá
integral duplaSnabla fcdotvec n,dS =integral triplaVnablacdot(nabla f),dV =integral triplaVDe<a f,dV

Passo 3

Substituímos
com jacobiano (r^2\sin\theta].

Passo 4

A integral de volume fica
integral triplaV(x^2+y^2+z^2),dV =integral0^1!integral0^pi!integral0^2pir^2,l(r^2sinthetar),dphi,dtheta,dr
Agora calculamos em separado:
integral0^1r^4dr=15, integral0^pisintheta,dtheta=2, integral0^2pidphi=2pi
Multiplicando tudo, obtemos
15times2times2pi = 4pi5

Resposta

O fluxo de nabla f através de S é
4pi5

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