Seja
tal que
. Calcule o fluxo do gradiente de
através da esfera
, onde
está orientada com campo normal unitário
apontando para fora.
Passo 1
O enunciado diz que
satisfaz
e pede o fluxo de
através da esfera
com orientação externa.
Conteúdo: vamos usar o Teorema da Divergência para transformar o fluxo numa integral de volume e em seguida calcular essa integral em coordenadas esféricas.
Conteúdo: vamos usar o Teorema da Divergência para transformar o fluxo numa integral de volume e em seguida calcular essa integral em coordenadas esféricas.
Passo 2
Chamando
a bola unitária interior a
, o Teorema da Divergência dá
Passo 3
Substituímos
com jacobiano (r^2\sin\theta].
Passo 4
A integral de volume fica
Agora calculamos em separado:
Multiplicando tudo, obtemos
Resposta
O fluxo de
através de
é