Calcule integralegral duplaS F cdot n d S onde F(x, y, z)=x z e^y i-x z e^y j+ +z k e S é a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral duplaSFcdot n,dS
onde
F(x,y,z)=l(xze^y,,-xze^y,,zr)
e S é a parte do plano
x+y+z=1
no primeiro octante.
Para resolver, vamos usar a descrição de S como gráfico
z=g(x,y)=1-x-y
sobre o domínio triangular
D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1
e a fórmula de fluxo com normal de componente z positiva:
integral duplaSFcdot n,dS =integral duplaDl[-P,gx - Q,gy + Rr],dA,
onde F=(P,Q,R).

Passo 2

Calculemos as derivadas de
g(x,y)=1-x-y:
gx=-1, gy=-1
Aqui P=xze^y, Q=-xze^y e R=z. Então
-P,gx = -l(xze^yr),(-1)=xze^y,
-,Q,gy = -l(-xze^yr),(-1)=-,xze^y,
+R = +z

Passo 3

Somando esses três termos obtemos o integrando em D:
-P,gx - Q,gy + R = xze^y - xze^y + z = z
Como sobre S vale z=1-x-y, o fluxo se reduz a
integral duplaD(1-x-y),dA

Passo 4

Parametrizamos D por
0<= x<=1, 0<= y<=1-x
e calculamos
integral duplaD(1-x-y),dA =integralx=0^1!integraly=0^1-x(1-x-y),dy,dx
A integral interna dá
integral0^1-x(1-x-y),dy =(1-x)(1-x)-(1-x)^22 =(1-x)^22
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integral0^1(1-x)^22,dx =12integral0^1(1-x)^2dx =12cdot13 =16

Resposta

16

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