Esboce os seguintes campos vetoriais em R^3 :
(c) F(x, y, z)=(y,-x, z).

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o campo vetorial em R^3
F(x,y,z) = (y,,-x,,z)
O conteúdo é esboço de campos vetoriais no espaço. Vamos separar a análise em parte horizontal (plano xy) e parte vertical ( z) para entender bem o formato dos vetores.

Passo 2

No plano xy a componente horizontal de F é
Fxy(x,y) = (y,,-x)
Esse campo é típico de rotação em torno do eixo z. Em cada ponto (x,y) o vetor é tangente à circunferência de raio r=raizx^2+y^2 centrada na origem, apontando no sentido horário quando visto de cima (pois em (r,0) temos F=(0,-r), etc.).

Passo 3

A componente vertical é simplesmente
Fz(x,y,z)=z
Isso significa que, quanto maior |z|, maior será a componente z do vetor; acima do plano xy ( z>0) o vetor aponta para cima, e abaixo ( z<0) aponta para baixo. No próprio plano xy ( z=0) não há componente vertical.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), em que
x=rcostheta, y=rsintheta,
vemos que
F = (y,-x,z) = l(rsintheta,,-rcostheta,,zr) = -,r, etheta ;+; z, ez
Ou seja, é a soma de um giro horário no plano (módulo r) e de um alongamento vertical proporcional a z.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Em cada nível z=const desenhe círculos concêntricos no plano xy e vetores tangentes no sentido horário.
  2. Acima do plano ( z>0) incline esses vetores para cima, com componente vertical crescente conforme |z|.
  3. Abaixo do plano ( z<0) incline-os para baixo, também com intensidade |z|.
  4. No eixo x=y=0 a parte horizontal some e restam vetores verticais de módulo |z|.

Resposta

O campo gira em torno do eixo z no sentido horário e “sobe” para z>0 (ou “desce” para z<0) com intensidade proporcional a z.

Exercícios relacionados