Determine, se possível, uma diagonalização para a matriz do seguinte operador linear na base canônica:
T(x, y, z)=(-x-2 y+2 z, y, z)
Observação: Cobrarei na prova todo o detalhamento da questão: identificando todas as matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(-x-2y+2z,\; y,\; z).
O que é pedido:
Determinar a matriz de T na base canônica;
Encontrar todos os autovalores (com suas multiplicidades algébrica) e todos os autovetores (descrever as respetivas autofunções e bases dos autoespaços);
Dizer se a matriz é diagonalizável e, se for, produzir uma diagonalização explícita (matriz P de autovetores invertível, matriz diagonal D de autovalores, e P^{-1} tal que A=PDP^{-1}).
Informações relevantes dadas:
A ação de T sobre um vetor (x,y,z) está explicitada — isso permite obter diretamente a matriz na base canônica tomando T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1).
Passo 2
Determinar a matriz A de T na base canônica. Aplicar T aos vetores da base canônica:
T(e_1)=T(1,0,0)=(-1,0,0),
T(e_2)=T(0,1,0)=(-2,1,0),
T(e_3)=T(0,0,1)=(2,0,1).
A matriz A tem essas imagens como colunas (na ordem e_1,e_2,e_3), logo
Encontrar o polinômio característico de A. Como A é triangular superior, o determinante de A-\lambda I é o produto das entradas da diagonal de A-\lambda I. Logo
Da segunda equação vem y=0\]. Da terceira vem \(z=0. Substituindo em primeira, fica satisfeita. A coordenada x não aparece em nenhuma equação, logo é livre. Assim os vetores próprios correspondentes a \lambda=-1 são
v=(x,0,0)=x(1,0,0),\qquad x\neq 0.
Podemos escolher um autovetor conveniente: (1,0,0). O espaço próprio associado a \lambda=-1 tem dimensão geométrica 1, igual à multiplicidade algébrica 1.]
Passo 5
Calcular o espaço próprio para \lambda=1. Resolver
As variáveis x e y são livres; portanto os vetores próprios têm a forma
(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1).
Uma base conveniente do espaço próprio \ker(A-I) é formada pelos vetores
v_2=(1,0,1),\qquad v_3=(0,1,1).
Esses dois vetores são linearmente independentes; assim a dimensão geométrica do autoespaço para \lambda=1 é 2, que coincide com a multiplicidade algébrica 2.]
Passo 6
Concluir sobre diagonalizabilidade e escolher as colunas de P. Como, para cada autovalor, a dimensão do seu espaço próprio (geométrica) coincide com a multiplicidade algébrica, temos um conjunto de 3 autovetores linearmente independentes. Portanto A é diagonalizável.
Escolhemos uma ordem conveniente de autovetores (cada coluna de P será um autovetor correspondente ao autovalor colocado na diagonal de D na mesma posição):