Q14: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em \mathbb{R}^{3} :
R=\frac{1}{45}\left[\begin{array}{rrr} 5 & -44 & 8 \\\\ -20 & 5 & 40 \\\\ -40 & -8 & -19 \end{array}\right]
Sabendo que o eixo de rotação é gerado pelo vetor ( 2, a, b ), assinale o valor de a.
(A) 4
(B) 2
(C) -1
(D) 1
(E) -2
(F) -4

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de rotação R em \mathbb{R}^3 e informa que o eixo de rotação é gerado pelo vetor (2,a,b). O que é pedido: determinar o valor de a.
Dados fornecidos:
R=\frac{1}{45}\begin{bmatrix} 5 & -44 & 8 \\\\ -20 & 5 & 40 \\\\ -40 & -8 & -19 \end{bmatrix}, \qquad \text{o eixo é gerado por }(2,a,b).é

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): para uma rotação em \mathbb{R}^3 em torno de um eixo que passa pela origem, qualquer vetor na direção do eixo é fixado pela rotação — ou seja, se v é um vetor do eixo então R v = v. Em linguagem de álgebra linear, v é um autovetor de R associado ao autovalor 1.
Portanto, como o eixo é gerado por (2,a,b), devemos ter
R\begin{pmatrix}2\\[4pt]a\\[4pt]b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]a\\[4pt]b\end{pmatrix}.]

Passo 3

Escrevendo a igualdade sem o fator 1/45: seja
M=\begin{bmatrix} 5 & -44 & 8 \\\\ -20 & 5 & 40 \\\\ -40 & -8 & -19 \end{bmatrix}.
A condição R v = v é equivalente a
\frac{1}{45}M\begin{pmatrix}2\\[4pt]a\\[4pt]b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]a\\[4pt]b\end{pmatrix} \quad\Longleftrightarrow\quad M\begin{pmatrix}2\\[4pt]a\\[4pt]b\end{pmatrix} =45\begin{pmatrix}2\\[4pt]a\\[4pt]b\end{pmatrix}.
Agora vamos multiplicar M pelo vetor \begin{pmatrix}2\a\b\end{pmatrix} componente a componente.]

Passo 4

Cálculo das três componentes de M(2,a,b)^\top:
  1. Primeira componente:
5\cdot 2 + (-44)\cdot a + 8\cdot b = 10 -44a + 8b.
A igualdade com 45\cdot 2=90
10 -44a + 8b = 90.
Subtraindo 10:
-44a + 8b = 80.
Dividindo por 4 para simplificar:
-11a + 2b = 20. \tag{A}
  1. Segunda componente:
-20\cdot 2 + 5\cdot a + 40\cdot b = -40 + 5a + 40b.
Isso deve ser igual a 45a. Igualando e rearranjando:
-40 + 5a + 40b = 45a \quad\Longrightarrow\quad -40 + 40b = 40a.
Dividindo por 40:
b - 1 = a \quad\Longleftrightarrow\quad a = b - 1. \tag{B}
  1. Terceira componente:
-40\cdot 2 + (-8)\cdot a + (-19)\cdot b = -80 -8a -19b.
Igualando a 45b:
-80 -8a -19b = 45b \quad\Longrightarrow\quad -80 -8a = 64b.
Dividindo por 8 (para simplificar):
-10 - a = 8b \quad\Longleftrightarrow\quad a = -8b -10. \tag{C}

Passo 5

Agora resolvemos o sistema formado pelas relações (B) e (C):
a = b - 1 \qquad\text{e}\qquad a = -8b - 10.
Igualando as expressões para a:
b - 1 = -8b - 10.
Somando 8b dos dois lados e somando 1:
9b = -9.
Logo
b = -1.

Passo 6

Com b=-1, usamos (B) para achar a:
a = b - 1 = -1 - 1 = -2.

Passo 7

(Verificação rápida) Podemos verificar que a=-2 e b=-1 satisfazem (A):
-11a + 2b = -11(-2) + 2(-1) = 22 - 2 = 20,
que é exatamente o lado direito de (A). Portanto a solução está consistente.

Resposta

(E) -2

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