Ache a forma de Jordan J da matriz A in M4(R), onde
A=(rrrr 3 & -1 & 1 & -7 9 & -3 & -7 & -1 0 & 0 & 4 & -8 0 & 0 & 2 & -4 )
e ache uma matriz invertível M em M4(R) de tal maneira que M^-1 A M=J.

Passo 1

O enunciado pede a forma de Jordan J de A e uma matriz invertível M in M4(R) tal que
M^-1 A M = J
Este problema envolve decompor A em blocos de Jordan. Vamos usar o fato de que A é block-triangular, calcular os autovalores de cada bloco, determinar as cadeias de Jordan (vetores generalizados) e montar M.

Passo 2

Observe que
A = 3 & -1 & 1 & -7 9 & -3 & -7 & -1 0 & 0 & 4 & -8 0 & 0 & 2 & -4
é block-triangular com
B = 3 & -19 & -3, C = 4 & -82 & -4
Os polinômios característicos são
det(B - lambda I) = lambda^2, det(C - lambda I) = lambda^2,
logo ambos têm autovalor 0 de multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Verificamos que B^2 = 0 mas Bneq0, e o mesmo vale para C. Cada bloco é um único bloco de Jordan de tamanho 2 para lambda=0. Assim
J = diagl(J2(0),,J2(0)r), J2(0)=0 & 10 & 0

Passo 4

Para construir M, achamos cadeias de Jordan de comprimento 2 em cada bloco.
1. No bloco B (coordenadas (x1,x2,0,0)), tomamos
v1 = 1000, v2 = A,v1 = 3900
Então A v1 = v2 e A v2=0.
2. No bloco C (coordenadas (0,0,x3,x4)), tomamos
v3 = 0010, v4 = A,v3 = 0042
Então A v3 = v4 e A v4=0.
Ordenamos a base de R^4 como (v2,v1,v4,v3). Nesta base, a matriz de A é exatamente
J = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

A matriz M cujas colunas são v2,v1,v4,v3 é invertível (determinante neq0) e satisfaz M^-1AM=J. Explicitamente:
M = 3 & 1 & 0 & 0 9 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 1 0 & 0 & 2 & 0 , J = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Resposta

J= 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 , M= 3 & 1 & 0 & 0 9 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 1 0 & 0 & 2 & 0

Exercícios relacionados