Seja A in M6(R) tal que A^4-8 A^2+16 I=0. Quais são as possíveis formas de Jordan não semelhantes para A ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz quadrada A de ordem 6, que satisfaz a equação A^4 - 8A^2 + 16I = 0 . A gente precisa descobrir quais são as possíveis formas de Jordan para A que não são semelhantes entre si. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como polinômios mínimos e formas de Jordan.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação que A satisfaz: A^4 - 8A^2 + 16I = 0 . Podemos reescrever isso como A^4 - 8A^2 + 16I = (A^2)^2 - 8A^2 + 16I . Isso se parece com uma expressão quadrática, então vamos tentar fatorar.

Passo 3

Vamos fatorar A^4 - 8A^2 + 16I . Observamos que:
A^4 - 8A^2 + 16I = (A^2 - 4I)^2
Então, temos (A^2 - 4I)^2 = 0 . Isso indica que o polinômio mínimo de A divide (A^2 - 4I)^2 , ou seja, mA(x) divide (x^2 - 4)^2 .

Passo 4

Agora, vamos fatorar x^2 - 4 :
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Portanto, mA(x) divide (x - 2)^2(x + 2)^2 . Isso significa que os autovalores de A são 2 e -2, e os possíveis tamanhos dos blocos de Jordan associados a cada autovalor são no máximo 2.

Passo 5

Como A é uma matriz de ordem 6, precisamos distribuir os blocos de Jordan para os autovalores 2 e -2 de forma que a soma das dimensões dos blocos seja 6. Cada bloco pode ter dimensão 1 ou 2.

Passo 6

Vamos listar todas as combinações possíveis de blocos de Jordan para os autovalores 2 e -2:
  1. Somente autovalor 2:
    • Três blocos de 2 times 2 .
  2. Somente autovalor -2:
    • Três blocos de 2 times 2 .
  3. Autovalores 2 e -2:
    • Dois blocos de 2 times 2 para 2 e um bloco de 2 times 2 para -2.
    • Dois blocos de 2 times 2 para -2 e um bloco de 2 times 2 para 2.
    • Um bloco de 2 times 2 para 2, um bloco de 2 times 2 para -2 e dois blocos de 1 times 1 para 2 e -2.
    • E assim por diante, garantindo que a soma das dimensões seja 6.

Passo 7

Após considerar todas as combinações, identificamos que há diferentes formas de Jordan que não são semelhantes entre si. Cada combinação única de blocos de Jordan para os autovalores 2 e -2 representa uma forma de Jordan distinta.

Resposta

As possíveis formas de Jordan não semelhantes para A são todas as combinações de blocos de Jordan para os autovalores 2 e -2, com blocos de tamanho 1 ou 2, de modo que a soma das dimensões seja 6. Exemplos incluem:
  • Três blocos de 2 times 2 para o autovalor 2.
  • Três blocos de 2 times 2 para o autovalor -2.
  • Dois blocos de 2 times 2 para 2 e dois blocos de 1 times 1 para -2.
  • Dois blocos de 2 times 2 para -2 e dois blocos de 1 times 1 para 2.
  • Um bloco de 2 times 2 para 2, um bloco de 2 times 2 para -2 e dois blocos de 1 times 1 para 2 e -2.
Cada uma dessas combinações representa uma forma de Jordan distinta para A .

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