Seja
tal que
. Quais são as possíveis formas de Jordan não semelhantes para
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz quadrada
de ordem 6, que satisfaz a equação
. A gente precisa descobrir quais são as possíveis formas de Jordan para
que não são semelhantes entre si. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como polinômios mínimos e formas de Jordan.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação que
satisfaz:
. Podemos reescrever isso como
. Isso se parece com uma expressão quadrática, então vamos tentar fatorar.
Passo 3
Vamos fatorar
. Observamos que:
Então, temos
. Isso indica que o polinômio mínimo de
divide
, ou seja,
divide
.
Passo 4
Agora, vamos fatorar
:
Portanto,
divide
. Isso significa que os autovalores de
são 2 e -2, e os possíveis tamanhos dos blocos de Jordan associados a cada autovalor são no máximo 2.
Passo 5
Como
é uma matriz de ordem 6, precisamos distribuir os blocos de Jordan para os autovalores 2 e -2 de forma que a soma das dimensões dos blocos seja 6. Cada bloco pode ter dimensão 1 ou 2.
Passo 6
Vamos listar todas as combinações possíveis de blocos de Jordan para os autovalores 2 e -2:
-
Somente autovalor 2:
- Três blocos de
.
- Três blocos de
-
Somente autovalor -2:
- Três blocos de
.
- Três blocos de
-
Autovalores 2 e -2:
- Dois blocos de
para 2 e um bloco de para -2. - Dois blocos de
para -2 e um bloco de para 2. - Um bloco de
para 2, um bloco de para -2 e dois blocos de para 2 e -2. - E assim por diante, garantindo que a soma das dimensões seja 6.
- Dois blocos de
Passo 7
Após considerar todas as combinações, identificamos que há diferentes formas de Jordan que não são semelhantes entre si. Cada combinação única de blocos de Jordan para os autovalores 2 e -2 representa uma forma de Jordan distinta.
Resposta
As possíveis formas de Jordan não semelhantes para
são todas as combinações de blocos de Jordan para os autovalores 2 e -2, com blocos de tamanho 1 ou 2, de modo que a soma das dimensões seja 6. Exemplos incluem:
- Três blocos de
para o autovalor 2. - Três blocos de
para o autovalor -2. - Dois blocos de
para 2 e dois blocos de para -2. - Dois blocos de
para -2 e dois blocos de para 2. - Um bloco de
para 2, um bloco de para -2 e dois blocos de para 2 e -2.
Cada uma dessas combinações representa uma forma de Jordan distinta para
.