Seja
dado por
.
Determine a forma de Jordan de
.
Determine a forma de Jordan de
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
por
onde
é o espaço dos polinômios de grau
.
O objetivo é encontrar a forma de Jordan de . Para isso, precisamos determinar os autovalores de
e a estrutura das suas cadeias de Jordan.
O objetivo é encontrar a forma de Jordan de
Passo 2
Mostramos que todos os autovalores de
são iguais a
.
Na base canónica temos, para cada
,
Na base canónica
Isto produz uma matriz superior triangular cujas entradas na diagonal são
. Logo o polinómio característico é
e o único autovalor é
, com multiplicidade algébrica
.
Passo 3
Para determinar a forma de Jordan, consideramos o operador
. Então
é o operador diferença finita. Note que, aplicado a
, produz um polinómio de grau
. Logo
implicando
mas
. Assim
é nilpotente de índice
.
Passo 4
O espaço próprio de
associado a
é
. A condição
equivale a
, logo
é constante. Assim
o que significa que a multiplicidade geométrica do autovalor
é
.
Passo 5
Como a multiplicidade algébrica de
é
e a multiplicidade geométrica é
, concluímos que existe exatamente uma cadeia de Jordan de tamanho
.
Resposta
A forma de Jordan de
é um único bloco de Jordan de tamanho
associado ao autovalor
, ou seja,