Seja T: Pn(R) longrightarrow Pn(R) dado por T(p(x))=p(x+1).
Determine a forma de Jordan de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T:Pn(R)toPn(R)
por
Tl(p(x)r)=p(x+1),
onde Pn(R) é o espaço dos polinômios de grau <= n.
O objetivo é encontrar a forma de Jordan de T. Para isso, precisamos determinar os autovalores de T e a estrutura das suas cadeias de Jordan.

Passo 2

Mostramos que todos os autovalores de T são iguais a 1.
Na base canónica 1,x,x^2,dots,x^n temos, para cada k,
T(x^k)=(x+1)^k =sumj=0^kbinomkjx^j
Isto produz uma matriz superior triangular cujas entradas na diagonal são
binomkk=1. Logo o polinómio característico é
chiT(lambda)=(lambda-1)^n+1,
e o único autovalor é lambda=1, com multiplicidade algébrica n+1.

Passo 3

Para determinar a forma de Jordan, consideramos o operador
N=T-I. Então
Nl(p(x)r)=p(x+1)-p(x)
é o operador diferença finita. Note que, aplicado a x^k, produz um polinómio de grau k-1. Logo
N^n+1(x^k)=0para todo k<= n,
implicando N^n+1=0 mas N^nneq0. Assim N é nilpotente de índice n+1.

Passo 4

O espaço próprio de T associado a lambda=1 é ker(N). A condição N(p)=0 equivale a p(x+1)=p(x), logo p é constante. Assim
dimker(N)=1,
o que significa que a multiplicidade geométrica do autovalor 1 é 1.

Passo 5

Como a multiplicidade algébrica de 1 é n+1 e a multiplicidade geométrica é 1, concluímos que existe exatamente uma cadeia de Jordan de tamanho n+1.

Resposta

A forma de Jordan de T é um único bloco de Jordan de tamanho n+1 associado ao autovalor 1, ou seja,
J= 1 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & 1 & cdots & 0 vdots & & ddots & ddots & vdots 0 & cdots & 0 & 1 & 1 0 & cdots & cdots & 0 & 1 inR^(n+1)times(n+1)

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