Determine a decomposição onde é nilpotente e é invertível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear definido por uma certa fórmula. Nosso objetivo aqui é decompor esse operador em duas partes: , onde é nilpotente (ou seja, quando você aplica ele várias vezes, ele “desaparece”) e é invertível (tem um inverso, não “desaparece”). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores lineares, matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz associada ao operador . Isso ajuda a visualizar melhor o que está acontecendo. A matriz de é construída a partir das imagens dos vetores da base canônica. Olhando para a definição de :
Podemos montar a matriz assim:
Passo 3
Agora, queremos decompor A em duas matrizes A1 e A2 tais que A = A1 + A2 , onde A1 é nilpotente e A2 é invertível. Para isso, vamos primeiro encontrar os autovalores de A , pois eles nos ajudarão a identificar as partes invertíveis e nilpotentes.
Passo 4
Para encontrar os autovalores, calculamos o determinante det(A - lambda I) = 0 . Mas, olhando a matriz A , percebemos que ela é uma matriz triangular, já que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero (exceto algumas posições, mas de forma que simplificam o cálculo). Assim, os autovalores são os elementos da diagonal principal:
No entanto, percebemos que A2 ainda tem elementos que não correspondem diretamente à parte invertível. Para simplificar, consideramos apenas a submatriz que corresponde aos autovalores não nulos:
A2 = 3 & 0 & 0 0 & 2 & -1 0 & 0 & -1
Passo 7
Agora, construímos A1 , a parte nilpotente, que conterá apenas os autovalores iguais a zero: