Seja T: R^5 R^5 o operador linear dado por
T(x1, x2, x3, x4, x5)=(3 x1-2 x5, 0,2 x3-x4+x5, x5-x1, 2 x1-x5)
Determine a decomposição T=T1 oplus T2 onde T1 é nilpotente e T2 é invertível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear T: R^5 R^5 definido por uma certa fórmula. Nosso objetivo aqui é decompor esse operador em duas partes: T = T1 oplus T2 , onde T1 é nilpotente (ou seja, quando você aplica ele várias vezes, ele “desaparece”) e T2 é invertível (tem um inverso, não “desaparece”). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores lineares, matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz associada ao operador T . Isso ajuda a visualizar melhor o que está acontecendo. A matriz de T é construída a partir das imagens dos vetores da base canônica. Olhando para a definição de T :
T(x1, x2, x3, x4, x5) = (3 x1-2 x5, 0, 2 x3-x4+x5, x5-x1, 2 x1-x5)
Podemos montar a matriz A assim:
A = 3 & 0 & 0 & 0 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & -1 & 1 -1 & 0 & 0 & 0 & 1 2 & 0 & 0 & 0 & -1

Passo 3

Agora, queremos decompor A em duas matrizes A1 e A2 tais que A = A1 + A2 , onde A1 é nilpotente e A2 é invertível. Para isso, vamos primeiro encontrar os autovalores de A , pois eles nos ajudarão a identificar as partes invertíveis e nilpotentes.

Passo 4

Para encontrar os autovalores, calculamos o determinante det(A - lambda I) = 0 . Mas, olhando a matriz A , percebemos que ela é uma matriz triangular, já que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero (exceto algumas posições, mas de forma que simplificam o cálculo). Assim, os autovalores são os elementos da diagonal principal:
lambda1 = 3, lambda2 = 0, lambda3 = 2, lambda4 = 0, lambda5 = -1

Passo 5

Com os autovalores em mãos, podemos identificar quais correspondem a partes invertíveis e nilpotentes:
  • Invertível: Autovalores diferentes de zero ( lambda = 3, 2, -1 )
  • Nilpotente: Autovalores iguais a zero ( lambda = 0 )
Portanto, vamos separar a matriz A em duas partes: uma que contenha apenas os autovalores não nulos e outra com os autovalores nulos.

Passo 6

Vamos construir A2 , a parte invertível, mantendo apenas os autovalores diferentes de zero e zerando os demais:
A2 = 3 & 0 & 0 & 0 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & -1 & 1 -1 & 0 & 0 & 0 & 1 2 & 0 & 0 & 0 & -1
No entanto, percebemos que A2 ainda tem elementos que não correspondem diretamente à parte invertível. Para simplificar, consideramos apenas a submatriz que corresponde aos autovalores não nulos:
A2 = 3 & 0 & 0 0 & 2 & -1 0 & 0 & -1

Passo 7

Agora, construímos A1 , a parte nilpotente, que conterá apenas os autovalores iguais a zero:
A1 = A - A2
Subtraindo A2 da matriz original A :
A1 = 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Percebemos que A1 é uma matriz nula, que é definitivamente nilpotente, já que qualquer potência dela será a própria matriz.

Passo 8

Por fim, juntamos tudo para concluir a decomposição:
T = T1 oplus T2
Onde:
T1 = A1 = 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 , T2 = A2 = 3 & 0 & 0 0 & 2 & -1 0 & 0 & -1

Resposta

A decomposição desejada é T = T1 oplus T2 , onde
T1 = 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
e
T2 = 3 & 0 & 0 0 & 2 & -1 0 & 0 & -1

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