Ache a forma de Jordan das seguintes matrizes
A=(rrrr 0 & -9 & 0 & 0 1 & 6 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 3 ) B=(rrr 5 & -9 & -4 6 & -11 & -5 -7 & 13 & 6 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para achar a forma de Jordan das matrizes A e B . A forma de Jordan é uma forma especial de representar uma matriz quadrada que facilita entender suas propriedades, como autovalores e autovetores. Para chegar lá, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores, e blocos de Jordan. Vamos resolver cada matriz passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a matriz A :
A = 0 & -9 & 0 & 0 1 & 6 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 3
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de A resolvendo a equação característica det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando o determinante det(A - lambda I) :
A - lambda I = -lambda & -9 & 0 & 0 1 & 6 - lambda & 0 & 0 0 & 0 & 3 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & 3 - lambda
O determinante de uma matriz diagonal ou quase diagonal pode ser simplificado multiplicando os determinantes dos blocos diagonais. Aqui, temos um bloco 2 times 2 e dois blocos 1 times 1 .
det(A - lambda I) = det -lambda & -9 1 & 6 - lambda times (3 - lambda)^2
Calculando os determinantes:
det -lambda & -9 1 & 6 - lambda = (-lambda)(6 - lambda) - (-9)(1) = -6lambda + lambda^2 + 9 = lambda^2 - 6lambda + 9
Portanto:
det(A - lambda I) = (lambda^2 - 6lambda + 9)(3 - lambda)^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar as raízes da equação característica para determinar os autovalores:
lambda^2 - 6lambda + 9 = 0 e (3 - lambda)^2 = 0
Resolvendo a primeira equação:
lambda^2 - 6lambda + 9 = 0 implies lambda = 6 pm raiz36 - 362 = 3
E a segunda já indica que lambda = 3 .
Então, todos os autovalores de A são lambda = 3 com multiplicidade 4.

Passo 5

Com o autovalor lambda = 3 de multiplicidade 4, vamos determinar a estrutura dos blocos de Jordan. Precisamos encontrar a dimensão dos autospaces, ou seja, a quantidade de vetores próprios associados a lambda = 3 .
Calculando A - 3I :
A - 3I = -3 & -9 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Vamos resolver (A - 3I)x = 0 .
As duas primeiras linhas fornecem as equações:
-3x1 - 9x2 = 0 x1 + 3x2 = 0
Essas são equações dependentes, o que significa que temos duas variáveis livres. As últimas duas linhas são zeros, dando mais duas variáveis livres. Portanto, a dimensão do autospaces é 2.

Passo 6

Como a multiplicidade algébrica é 4 e a multiplicidade geométrica é 2, a matriz A terá dois blocos de Jordan de tamanho 2 para o autovalor lambda = 3 .
Portanto, a forma de Jordan de A é:
JA = 3 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 3

Passo 7

Agora, vamos para a matriz B :
B = 5 & -9 & -4 6 & -11 & -5 -7 & 13 & 6
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo det(B - lambda I) = 0 .

Passo 8

Calculando B - lambda I :
B - lambda I = 5 - lambda & -9 & -4 6 & -11 - lambda & -5 -7 & 13 & 6 - lambda
O determinante dessa matriz é:
det(B - lambda I) = (5 - lambda)[(-11 - lambda)(6 - lambda) - (-5)(13)] - (-9)[6(6 - lambda) - (-5)(-7)] + (-4)[6 cdot 13 - (-11 - lambda)(-7)]
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 9

Primeiro, calculamos cada parte individualmente:
  1. (-11 - lambda)(6 - lambda) - (-5)(13) = ( (-11)(6) - (-11)lambda - 6lambda + lambda^2 ) + 65 = (-66 + 11lambda - 6lambda + lambda^2 ) + 65 = lambda^2 + 5lambda - 1
  2. 6(6 - lambda) - (-5)(-7) = 36 - 6lambda - 35 = 1 - 6lambda
  3. 6 cdot 13 - (-11 - lambda)(-7) = 78 - (77 + 7lambda) = 78 - 77 - 7lambda = 1 - 7lambda
Agora, substituindo de volta:
det(B - lambda I) = (5 - lambda)(lambda^2 + 5lambda - 1) - (-9)(1 - 6lambda) + (-4)(1 - 7lambda)

Passo 10

Expandindo cada termo:
(5 - lambda)(lambda^2 + 5lambda - 1) = 5lambda^2 + 25lambda - 5 - lambda^3 - 5lambda^2 + lambda = -lambda^3 + 26lambda - 5
- (-9)(1 - 6lambda) = 9(1 - 6lambda) = 9 - 54lambda
-4(1 - 7lambda) = -4 + 28lambda
Somando tudo:
-lambda^3 + 26lambda - 5 + 9 - 54lambda - 4 + 28lambda = -lambda^3 + 0lambda + 0 = -lambda^3
Portanto:
det(B - lambda I) = -lambda^3 = 0 implies lambda = 0 com mu<iplicidade 3

Passo 11

Agora, com o autovalor lambda = 0 de multiplicidade 3, precisamos determinar a dimensão do autospaces para saber a estrutura dos blocos de Jordan.
Calculando B :
B - 0 cdot I = B = 5 & -9 & -4 6 & -11 & -5 -7 & 13 & 6
Resolvendo Bx = 0 .

Passo 12

Vamos montar o sistema:
5x1 - 9x2 - 4x3 = 0 6x1 - 11x2 - 5x3 = 0 -7x1 + 13x2 + 6x3 = 0
Vamos resolver esse sistema. Observando que as três equações são lineares, vamos usar redução gaussiana.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(6x1 - 11x2 - 5x3) - (5x1 - 9x2 - 4x3) = x1 - 2x2 - x3 = 0 implies x1 = 2x2 + x3
Substituindo x1 na terceira equação:
-7(2x2 + x3) + 13x2 + 6x3 = -14x2 -7x3 +13x2 +6x3 = (-14+13)x2 + (-7+6)x3 = -x2 - x3 = 0 implies x2 = -x3
Então, x1 = 2(-x3) + x3 = -2x3 + x3 = -x3 .
Portanto, todas as variáveis são expressas em função de x3 . Vamos chamar x3 = t , então:
x1 = -t, x2 = -t, x3 = t
O autospaces tem dimensão 1, já que há um vetor próprio independente.

Passo 13

Como a multiplicidade algébrica do autovalor lambda = 0 é 3 e a dimensão do autospaces é 1, teremos um bloco de Jordan de tamanho 3 para lambda = 0 .
Portanto, a forma de Jordan de B é:
JB = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

Resposta

A forma de Jordan das matrizes são:
JA = 3 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 3
e
JB = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

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