Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para achar a forma de Jordan das matrizes A e B . A forma de Jordan é uma forma especial de representar uma matriz quadrada que facilita entender suas propriedades, como autovalores e autovetores. Para chegar lá, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores, e blocos de Jordan. Vamos resolver cada matriz passo a passo.
O determinante de uma matriz diagonal ou quase diagonal pode ser simplificado multiplicando os determinantes dos blocos diagonais. Aqui, temos um bloco 2 times 2 e dois blocos 1 times 1 .
det(A - lambda I) = det -lambda & -9 1 & 6 - lambda times (3 - lambda)^2
Então, todos os autovalores de A são lambda = 3 com multiplicidade 4.
Passo 5
Com o autovalor lambda = 3 de multiplicidade 4, vamos determinar a estrutura dos blocos de Jordan. Precisamos encontrar a dimensão dos autospaces, ou seja, a quantidade de vetores próprios associados a lambda = 3 .
Essas são equações dependentes, o que significa que temos duas variáveis livres. As últimas duas linhas são zeros, dando mais duas variáveis livres. Portanto, a dimensão do autospaces é 2.
Passo 6
Como a multiplicidade algébrica é 4 e a multiplicidade geométrica é 2, a matriz A terá dois blocos de Jordan de tamanho 2 para o autovalor lambda = 3 .