Sejam V=K^n e a1, cdots, an in K. Mostre que
lang<=(x1, cdots, xn),(y1, cdots, yn)rang<==sumi=1^n ai xi yi
é um produto interno em V se, e somente se, ai é um valor real positivo para cada i=1, ldots, n.

Passo 1

O enunciado define em V=K^n a aplicação
lang<= (x1,dots,xn),(y1,dots,yn)rang<= ;=;sumi=1^n ai,xi,yi,
e pede para mostrar que isto é produto interno em V se, e somente se, cada ai for real e positivo.
Para isso usamos as três propriedades de produto interno (na convenção linear em primeiro argumento):
  1. conjugada-simetria: lang<= x,yrang<==lang<= y,xrang<=,
  2. linearidade em x,
  3. positividade: lang<= x,xrang<=>0 para todo xneq0.

Passo 2

(Somente se) Suponha que lang<=cdot,cdotrang<= seja produto interno.
  1. Tomando x=ei (vetor canônico com 1 em i-ésima coordenada e 0 nas demais), temos
lang<= ei,eirang<= = sumj=1^n aj,(ei)j,(ei)j = aicdot1cdot1 = ai
Como a positividade exige lang<= ei,eirang<=>0, segue ai>0.
2. Pela conjugada-simetria,
ai = lang<= ei,eirang<= = lang<= ei,eirang<= = ai,
logo cada ai é real.

Passo 3

(Se) Agora suponha que todos ai sejam reais positivos. Vamos verificar as três propriedades:
  1. Conjugada-simetria:
lang<= y,xrang<= =sumi=1^n ai,yi,xi =sumi=1^n ai,yi,xi =sumi=1^n ai,xi,yi =lang<= x,yrang<=,
pois ai=ai.
2. Linearidade em x: é imediata porque a soma e o produto por escalar passam por dentro da soma sum ai xiyi.
3. Positividade: para xneq0,
lang<= x,xrang<= =sumi=1^n ai,|xi|^2
é soma de termos estritamente positivos (cada ai>0 e pelo menos um |xi|^2>0), logo >0.

Resposta

O dado é produto interno em V se, e somente se, cada ai for real positivo.

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