Sejam
e
. Mostre que
é um produto interno em
V se, e somente se,
ai é um valor real positivo para cada
i=1, ldots, n .
Passo 1
O enunciado define em
V=K^n a aplicação
e pede para mostrar que isto é produto interno em
V se, e somente se, cada
ai for real e positivo.
Para isso usamos as três propriedades de produto interno (na convenção linear em primeiro argumento):
Para isso usamos as três propriedades de produto interno (na convenção linear em primeiro argumento):
- conjugada-simetria:
,lang<= x,yrang<==lang<= y,xrang<= - linearidade em
,x - positividade:
para todolang<= x,xrang<=>0 .xneq0
Passo 2
(Somente se) Suponha que
lang<=cdot,cdotrang<= seja produto interno.
- Tomando
(vetor canônico comx=ei em1 -ésima coordenada ei nas demais), temos0
Como a positividade exige
lang<= ei,eirang<=>0 , segue
ai>0 .
2. Pela conjugada-simetria,
2. Pela conjugada-simetria,
logo cada
ai é real.
Passo 3
(Se) Agora suponha que todos
ai sejam reais positivos. Vamos verificar as três propriedades:
- Conjugada-simetria:
pois
ai=ai .
2. Linearidade emx : é imediata porque a soma e o produto por escalar passam por dentro da soma
sum ai xiyi .
3. Positividade: paraxneq0 ,
2. Linearidade em
3. Positividade: para
é soma de termos estritamente positivos (cada
ai>0 e pelo menos um
|xi|^2>0 ), logo
>0 .
Resposta
O dado é produto interno em
V se, e somente se, cada
ai for real positivo.