Ache a fórmula fechada para a soma e depois prove por indução para todo inteiro positivo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma fórmula fechada para a soma
e depois provar que essa fórmula funciona para todo número inteiro positivo
usando indução. Vamos precisar de conhecimentos sobre somas de sequências e a técnica de prova por indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a soma que temos:
. Isso significa que estamos somando termos onde cada termo é da forma
, começando com
até
. Por exemplo, para
, a soma seria
.
Passo 3
Vamos tentar simplificar essa soma. Podemos separar os termos:
Aqui, usamos a propriedade da soma que permite fatorar constantes e separar somas.
Passo 4
Sabemos que
é a soma dos primeiros
números naturais, que tem a fórmula conhecida:
E
simplesmente adiciona
vezes, então:
Passo 5
Substituindo essas fórmulas na nossa expressão original:
Simplificando:
Passo 6
Então, chegamos à fórmula fechada:
Passo 7
Agora, vamos provar que essa fórmula funciona para todo inteiro positivo
usando indução matemática.
Base da Indução (
):
Substituindo
na soma:
E na fórmula:
Os dois resultados são iguais, então a base está ok.
Passo Indutivo:
Assumimos que a fórmula funciona para algum inteiro
, ou seja:
Queremos mostrar que isso implica que:
Prova:
Começamos com a soma até
:
Pela hipótese de indução:
Simplificando:
Agora, vemos se isso é igual a
:
Confere! Portanto, a fórmula vale para
se vale para
.
Resposta
A fórmula fechada para a soma é
.