Ache a fórmula fechada para a soma e depois prove por indução para todo inteiro positivo n
sumk=1^n(4 k-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma fórmula fechada para a soma sumk=1^n(4k-3) e depois provar que essa fórmula funciona para todo número inteiro positivo n usando indução. Vamos precisar de conhecimentos sobre somas de sequências e a técnica de prova por indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a soma que temos: sumk=1^n(4k-3). Isso significa que estamos somando termos onde cada termo é da forma 4k - 3, começando com k=1 até k=n. Por exemplo, para n=3, a soma seria (4*1 - 3) + (4*2 - 3) + (4*3 - 3).

Passo 3

Vamos tentar simplificar essa soma. Podemos separar os termos:
sumk=1^n(4k-3) = 4sumk=1^nk - 3sumk=1^n1
Aqui, usamos a propriedade da soma que permite fatorar constantes e separar somas.

Passo 4

Sabemos que sumk=1^nk é a soma dos primeiros n números naturais, que tem a fórmula conhecida:
sumk=1^nk = n(n+1)2
E sumk=1^n1 simplesmente adiciona 1 n vezes, então:
sumk=1^n1 = n

Passo 5

Substituindo essas fórmulas na nossa expressão original:
4sumk=1^nk - 3sumk=1^n1 = 4 cdot n(n+1)2 - 3n
Simplificando:
= 2n(n+1) - 3n
= 2n^2 + 2n - 3n
= 2n^2 - n

Passo 6

Então, chegamos à fórmula fechada:
sumk=1^n(4k-3) = 2n^2 - n

Passo 7

Agora, vamos provar que essa fórmula funciona para todo inteiro positivo n usando indução matemática.
Base da Indução ( n=1):
Substituindo n=1 na soma:
sumk=1^1(4k-3) = 4(1) - 3 = 1
E na fórmula:
2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1
Os dois resultados são iguais, então a base está ok.
Passo Indutivo:
Assumimos que a fórmula funciona para algum inteiro k, ou seja:
sumi=1^k(4i-3) = 2k^2 - k
Queremos mostrar que isso implica que:
sumi=1^k+1(4i-3) = 2(k+1)^2 - (k+1)
Prova:
Começamos com a soma até k+1:
sumi=1^k+1(4i-3) = ( sumi=1^k(4i-3) ) + (4(k+1) - 3)
Pela hipótese de indução:
= (2k^2 - k) + (4k + 4 - 3)
Simplificando:
= 2k^2 - k + 4k + 1
= 2k^2 + 3k + 1
Agora, vemos se isso é igual a 2(k+1)^2 - (k+1):
2(k+1)^2 - (k+1) = 2(k^2 + 2k +1) - k -1
= 2k^2 + 4k + 2 - k -1
= 2k^2 + 3k +1
Confere! Portanto, a fórmula vale para k+1 se vale para k.

Resposta

A fórmula fechada para a soma é 2n^2 - n.

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