Prove, por indução em
, que
é divisível por 3 , para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que
é divisível por 3 para todo
. Para isso, vamos usar um método chamado indução matemática. Basicamente, a indução ajuda a mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais depois de um certo ponto, seguindo passos lógicos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja, quando
.
Calculando:
Como 3 é divisível por 3 (porque
sem resto), o caso base está comprovado!
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número natural
; isso é o que chamamos de hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
Isso significa que existe algum inteiro
tal que:
Passo 4
Nosso próximo passo é mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, ela também será verdadeira para
.
Vamos calcular
:
Podemos reescrever isso como:
Pela hipótese de indução, sabemos que
, então substituindo:
Isso mostra que
é múltiplo de 3, já que conseguimos escrever como 3 vezes um número inteiro.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que
é divisível por 3 para todo
.