Prove, por indução em n, que 4^n-1 é divisível por 3 , para todo n >= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que 4^n - 1 é divisível por 3 para todo n >= 1. Para isso, vamos usar um método chamado indução matemática. Basicamente, a indução ajuda a mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais depois de um certo ponto, seguindo passos lógicos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja, quando n = 1.
Calculando:
4^1 - 1 = 4 - 1 = 3
Como 3 é divisível por 3 (porque 3 div 3 = 1 sem resto), o caso base está comprovado!

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número natural k; isso é o que chamamos de hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
4^k - 1 é divisível por 3 éí
Isso significa que existe algum inteiro m tal que:
4^k - 1 = 3m

Passo 4

Nosso próximo passo é mostrar que, se a afirmação é verdadeira para k, ela também será verdadeira para k + 1.
Vamos calcular 4^k+1 - 1:
4^k+1 - 1 = 4 cdot 4^k - 1
Podemos reescrever isso como:
4 cdot 4^k - 1 = (3 + 1) cdot 4^k - 1 = 3 cdot 4^k + 4^k - 1
Pela hipótese de indução, sabemos que 4^k - 1 = 3m, então substituindo:
3 cdot 4^k + 3m = 3(4^k + m)
Isso mostra que 4^k+1 - 1 é múltiplo de 3, já que conseguimos escrever como 3 vezes um número inteiro.

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que 4^n - 1 é divisível por 3 para todo n >= 1.

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