Ache a fórmula fechada para a soma
sumk=1^n 1k(k+1)=11 cdot 2+12 cdot 3+13 cdot 4+cdots+1n(n+1)
Para todos inteiros n >= 1 e prove o seu resultado por indução matemática.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma soma que envolve frações do tipo 1k(k+1), onde k vai de 1 até n. O conteúdo aqui é sobre séries e somas, e vamos precisar usar um pouco de álgebra pra simplificar essa expressão e encontrar uma fórmula fechada. Depois, vamos provar que nossa fórmula está correta usando indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na fração 1k(k+1). Ela parece meio complicada, mas dá pra quebrar ela em duas partes mais simples usando frações parciais. A ideia é escrever 1k(k+1) como Ak + Bk+1, onde A e B são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por k(k+1) pra tirar os denominadores, temos:
1 = A(k+1) + Bk
Vamos escolher valores de k pra facilitar. Se k = -1, fica:
1 = A(0) + B(-1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1
Se k = 0, fica:
1 = A(1) + B(0) Rightarrow 1 = A Rightarrow A = 1
Então, 1k(k+1) = 1k - 1k+1.

Passo 4

Agora que a gente simplificou a fração, vamos substituir na soma original:
sumk=1^n 1k(k+1) = sumk=1^n ( 1k - 1k+1 )
Isso dá uma soma telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.

Passo 5

Vamos escrever os primeiros termos pra ver o que acontece:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + cdots + ( 1n - 1n+1 )
Viu? Todo 12, 13, etc., vão se cancelar, sobrando só o primeiro e o último termos.

Passo 6

Então, a soma fica:
1 - 1n+1
Podemos simplificar isso pra:
nn+1

Passo 7

Agora, vamos provar isso usando indução matemática. Primeiro, para n = 1:
sumk=1^1 1k(k+1) = 11 cdot 2 = 12
E nossa fórmula dá:
11+1 = 12
Então, funciona pro caso base.

Passo 8

Agora, assumimos que funciona pro algum n = m, ou seja:
sumk=1^m 1k(k+1) = mm+1
Precisamos provar que também funciona pra n = m+1.

Passo 9

Considerando n = m+1:
sumk=1^m+1 1k(k+1) = sumk=1^m 1k(k+1) + 1(m+1)(m+2)
Pela hipótese de indução:
mm+1 + 1(m+1)(m+2) = m(m+2) + 1(m+1)(m+2) = m^2 + 2m + 1(m+1)(m+2) = (m+1)^2(m+1)(m+2) = m+1m+2
Que é exatamente o que a nossa fórmula diz pra n = m+1.

Resposta

A fórmula fechada para a soma é nn+1.

Exercícios relacionados