Ache a fórmula fechada para a soma
Para todos inteiros
e prove o seu resultado por indução matemática.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma soma que envolve frações do tipo
, onde
vai de 1 até
. O conteúdo aqui é sobre séries e somas, e vamos precisar usar um pouco de álgebra pra simplificar essa expressão e encontrar uma fórmula fechada. Depois, vamos provar que nossa fórmula está correta usando indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na fração
. Ela parece meio complicada, mas dá pra quebrar ela em duas partes mais simples usando frações parciais. A ideia é escrever
como
, onde
e
são constantes que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
pra tirar os denominadores, temos:
Vamos escolher valores de
pra facilitar. Se
, fica:
Se
, fica:
Então,
.
Passo 4
Agora que a gente simplificou a fração, vamos substituir na soma original:
Isso dá uma soma telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.
Passo 5
Vamos escrever os primeiros termos pra ver o que acontece:
Viu? Todo
,
, etc., vão se cancelar, sobrando só o primeiro e o último termos.
Passo 6
Então, a soma fica:
Podemos simplificar isso pra:
Passo 7
Agora, vamos provar isso usando indução matemática. Primeiro, para
:
E nossa fórmula dá:
Então, funciona pro caso base.
Passo 8
Agora, assumimos que funciona pro algum
, ou seja:
Precisamos provar que também funciona pra
.
Passo 9
Considerando
:
Pela hipótese de indução:
Que é exatamente o que a nossa fórmula diz pra
.
Resposta
A fórmula fechada para a soma é
.