Questão 5: Verifique e prove se as funções são injetivas, sobrejetivas ou bijetivas:
dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+} $ definida por $ f(x) = x^{2} + 1 $ é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. Vamos usar conceitos de funções: injeção (cada elemento do domínio mapeia pra um único elemento no contradomínio), sobreyecção (todos os elementos do contradomínio têm pelo menos um elemento do domínio que mapeia pra eles) e bijetividade (a função é simultaneamente injetiva e sobrejetiva). Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos ver se $ f(x) = x^{2} + 1 $ é injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que $ f(a) = f(b) $, então $ a = b $.
Vamos supor que $ f(a) = f(b) $:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Isso implica que $ a = b $ ou $ a = -b $. Então, a menos que $ a = b $ ou $ a = -b $, podemos ter $ f(a) = f(b) $. Por exemplo, $ f(2) = 2^{2} + 1 = 5 $ e $ f(-2) = (-2)^{2} + 1 = 5 $. Dois valores diferentes no domínio mapeando pro mesmo valor no contradomínio. Portanto, a função não é injetiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se todo elemento do contradomínio $ \mathbb{R}_{+} $ tem pelo menos um elemento no domínio $ \mathbb{R} $ que mapeia pra ele.
Olha só, $ f(x) = x^{2} + 1 $. O menor valor que $ x^{2} $ pode ter é 0 (quando $ x = 0 $), então $ f(x) \geq 1 $ para todo $ x $ em $ \mathbb{R} $. Isso significa que não existe $ x $ tal que $ f(x) < 1 $. Portanto, números menores que 1 no contradomínio $ \mathbb{R}_{+} $ não têm pré-imagem. Logo, a função não é sobrejetiva.
Resposta
A função $ f(x) = x^{2} + 1 $ não é nem injetiva nem sobrejetiva, portanto, não é bijetiva.