Prove que
é divisível por 11 , para todo
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar que
é divisível por 11 para todo número inteiro
. Isso envolve conceitos de divisibilidade e propriedades de potências. Para resolver, vamos usar o método de indução matemática, que é uma forma de demonstrar que uma afirmação vale para todos os números naturais a partir de um ponto inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso mais simples, quando
. Calculando:
Agora, vamos ver se 99 é divisível por 11. Fazendo a divisão:
Como o resultado é um número inteiro,
é divisível por 11. Então, a base da nossa indução está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum
. Ou seja, vamos supor que
é divisível por 11. Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Essa suposição é a hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos calcular
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Agora, observe que
é múltiplo de
(já que
), então
também é múltiplo de
. Além disso, pela nossa hipótese de indução,
é múltiplo de
.
Portanto, a soma
é múltiplo de
, já que é a soma de dois múltiplos de
.
Passo 6
Concluímos que
também é divisível por
, assumindo que
é divisível por
.
Passo 7
Como verificamos que a afirmação é verdadeira para
e que, se é verdadeira para
, também é verdadeira para
, pela indução matemática, podemos concluir que
é divisível por
para todo
.
Resposta
Portanto,
é divisível por
para todo número inteiro
.