Prove que 10^2 n-1 é divisível por 11 , para todo n >= 1.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que 10^2n - 1 é divisível por 11 para todo número inteiro n >= 1. Isso envolve conceitos de divisibilidade e propriedades de potências. Para resolver, vamos usar o método de indução matemática, que é uma forma de demonstrar que uma afirmação vale para todos os números naturais a partir de um ponto inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso mais simples, quando n = 1. Calculando:
10^2 times 1 - 1 = 10^2 - 1 = 100 - 1 = 99
Agora, vamos ver se 99 é divisível por 11. Fazendo a divisão:
99 div 11 = 9
Como o resultado é um número inteiro, 99 é divisível por 11. Então, a base da nossa indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum k >= 1. Ou seja, vamos supor que 10^2k - 1 é divisível por 11. Isso significa que existe um número inteiro m tal que:
10^2k - 1 = 11m
Essa suposição é a hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para k, então ela também é verdadeira para k + 1. Vamos calcular 10^2(k + 1) - 1:
10^2(k + 1) - 1 = 10^2k + 2 - 1 = 10^2k times 10^2 - 1 = 100 times 10^2k - 1
Podemos reescrever isso como:
100 times 10^2k - 1 = (99 times 10^2k) + (10^2k - 1)

Passo 5

Agora, observe que 99 é múltiplo de 11 (já que 99 = 11 times 9), então 99 times 10^2k também é múltiplo de 11. Além disso, pela nossa hipótese de indução, 10^2k - 1 é múltiplo de 11.
Portanto, a soma (99 times 10^2k) + (10^2k - 1) é múltiplo de 11, já que é a soma de dois múltiplos de 11.

Passo 6

Concluímos que 10^2(k + 1) - 1 também é divisível por 11, assumindo que 10^2k - 1 é divisível por 11.

Passo 7

Como verificamos que a afirmação é verdadeira para n = 1 e que, se é verdadeira para n = k, também é verdadeira para n = k + 1, pela indução matemática, podemos concluir que 10^2n - 1 é divisível por 11 para todo n >= 1.

Resposta

Portanto, 10^2n - 1 é divisível por 11 para todo número inteiro n >= 1.

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