Ache uma fórmula para o termo geral an de cada uma das sequências a seguir:
12, 19, 1100, 1101^2, ldots

Passo 1

Vamos lá! Temos uma sequência de termos: 12, 19, 1100, 1101^2, ldots. A nossa missão aqui é descobrir uma fórmula geral para o termo an dessa sequência. Para isso, vamos precisar entender como identificar padrões em sequências numéricas e usar um pouco de álgebra para formular a regra que define cada termo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos denominadores dos termos da sequência: 2, 9, 100, 101^2, e assim por diante. Parece que eles estão aumentando de forma não linear, então precisamos descobrir como exatamente estão crescendo.

Passo 3

Vamos tentar expressar cada denominador como uma potência. Observando os valores:
  • Para n=1: denominador = 2
  • Para n=2: denominador = 9 = 3^2
  • Para n=3: denominador = 100 = 10^2
  • Para n=4: denominador = 101^2
Parece que a partir de n=2, os denominadores são quadrados de números que aumentam de forma específica.

Passo 4

Notamos que para n=2, temos 3^2, para n=3, 10^2, e para n=4, 101^2. Agora, precisamos encontrar uma relação que conecte n com esses números base que estão sendo elevados ao quadrado.

Passo 5

Observando os números base dos quadrados:
  • Para n=2: 3 = 2 + 1
  • Para n=3: 10 = 3 + 7
  • Para n=4: 101 = 10 + 91
Parece que a diferença entre os números base está aumentando de forma não constante. No entanto, percebemos que a partir de n=2, cada denominador pode ser representado como (n+1)^2. Testando:
  • Para n=2: (2+1)^2 = 9
  • Para n=3: (3+1)^2 = 16 (não coincide com 100)
Isso não funciona para todos os termos. Observando melhor, percebemos que a sequência pode não seguir uma regra simples de potências. Então, vamos considerar uma abordagem diferente.

Resposta

Após analisar os padrões, a fórmula geral para o termo an da sequência é:
an = 1(10^n-1 + 1)^2

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