Ache \frac{d y}{d x}.
\displaystyle y+x \cos y=x^{2} y

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
y + x \cos y = x^{2}y
e pede \dfrac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita, tratando y como função de x.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(y + x\cos y\bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr).
No lado esquerdo,
\frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx}, \quad \frac{d}{dx}(x\cos y) =\cos y + x\bigl(-\sin y\bigr)\frac{dy}{dx} =\cos y - x\sin y\,\frac{dy}{dx}.
No lado direito,
\frac{d}{dx}(x^{2}y) =2x\,y + x^{2}\frac{dy}{dx}.
Logo obtemos
\frac{dy}{dx} + \cos y - x\sin y\,\frac{dy}{dx} =2xy + x^{2}\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora isolamos os termos com \frac{dy}{dx} em um lado:
\frac{dy}{dx} - x\sin y\,\frac{dy}{dx} - x^{2}\frac{dy}{dx} =2xy - \cos y.
Fatorando \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\bigl(1 - x\sin y - x^{2}\bigr) =2xy - \cos y.
Dividindo ambos os lados pelo fator, fica
\frac{dy}{dx} =\frac{2xy - \cos y}{1 - x\sin y - x^{2}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{2xy - \cos y}{1 - x\sin y - x^{2}}.

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