Ache \frac{d y}{d x}.
\displaystyle y=\operatorname{sen}\left(\operatorname{tg} \sqrt{1+x^{2}}\right)\

Passo 1

O enunciado nos dá
y = \operatorname{sen}\bigl(\operatorname{tg}\sqrt{1+x^{2}}\bigr)
e pede \frac{dy}{dx}.
O conteúdo é derivação de função composta, então vamos aplicar a regra da cadeia em cascata.

Passo 2

Definimos
u = \operatorname{tg}\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr),
de modo que
y = \operatorname{sen}(u).
Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = \cos(u)\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Agora derivamos u. Chamamos
v = \sqrt{1+x^{2}},
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u = \operatorname{tg}(v).
A derivada de \operatorname{tg}(v) é \operatorname{sec}^{2}(v) vezes a derivada de v:
\frac{du}{dx} = \operatorname{sec}^{2}(v)\,\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Falta \frac{dv}{dx}. Como
v = (1+x^{2})^{\tfrac12},
temos
\frac{dv}{dx} = \tfrac12\,(1+x^{2})^{-\tfrac12}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.

Passo 5

Substituindo tudo em \frac{dy}{dx}=\cos(u)\,\frac{du}{dx} e em \frac{du}{dx}=\operatorname{sec}^{2}(v)\,\frac{dv}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = \cos\bigl(\operatorname{tg}(\sqrt{1+x^{2}})\bigr) \;\cdot\;\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr) \;\cdot\;\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \cos\bigl(\operatorname{tg}(\sqrt{1+x^{2}})\bigr)\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr)\,\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.

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