Calcule a derivada indicada.
\displaystyle y=x^{2}+\left[x^{3}+\left(x^{4}+x\right)^{2}\right]^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x^{2} + \bigl[x^{3} + (x^{4} + x)^{2}\bigr]^{3}.
Aqui vamos aplicar a regra de potência para x^{2} e a combinação da regra da cadeia com a regra de potência para o termo \bigl[\cdots\bigr]^{3}.

Passo 2

Derivando o primeiro termo por regra de potência, temos
\frac{d}{dx}\,x^{2} = 2x.

Passo 3

Defina
u = x^{3} + (x^{4} + x)^{2}.
Então o segundo termo é u^{3}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\,u^{3} = 3\,u^{2}\,\frac{du}{dx}.

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{du}{dx}. Escrevendo
u = x^{3} + (x^{4} + x)^{2},
temos
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\,x^{3} + \frac{d}{dx}\,(x^{4}+x)^{2} = 3x^{2} + 2\,(x^{4}+x)\,\frac{d}{dx}(x^{4}+x).
E
\frac{d}{dx}(x^{4}+x) = 4x^{3} + 1,
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\frac{du}{dx} = 3x^{2} + 2\,(x^{4} + x)\,(4x^{3} + 1).

Passo 5

Juntando tudo, a derivada de y é
y' = 2x + 3\,\bigl[x^{3} + (x^{4}+x)^{2}\bigr]^{2}\,\bigl(3x^{2} + 2\,(x^{4}+x)\,(4x^{3}+1)\bigr).

Resposta

y' = 2x + 3\,[x^{3} + (x^{4} + x)^{2}]^{2}\,\bigl(3x^{2} + 2\,(x^{4}+x)\,(4x^{3}+1)\bigr).

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