Use a Regra de l’Hôspital se for apropriado.
\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+2}\right)\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+2}\bigr).
Estamos diante de uma indeterminação do tipo \infty-\infty. Para resolver, uma via mais direta do que a Regra de l’Hôpital é transformar essa diferença em um quociente, usando a racionalização (multiplicação pela conjugada).

Passo 2

Multiplicamos e dividimos pela conjugada x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+2}:
x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+2} =\frac{\bigl(x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+2}\bigr)\bigl(x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+2}\bigr)}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+2}}.
No numerador temos
(x^{2})^{2}-\bigl(\sqrt{x^{4}-x^{2}+2}\bigr)^{2} =x^{4}-\bigl(x^{4}-x^{2}+2\bigr) =x^{2}-2.
Logo a expressão vira
\frac{x^{2}-2}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+2}}.

Passo 3

Para analisar o limite, fatoramos x^{2} em numerador e denominador:
\frac{x^{2}-2}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+2}} =\frac{x^{2}\bigl(1-\tfrac{2}{x^{2}}\bigr)}{x^{2}\Bigl(1+\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}+\tfrac{2}{x^{4}}}\Bigr)} =\frac{1-\tfrac{2}{x^{2}}}{1+\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}+\tfrac{2}{x^{4}}}}.

Passo 4

Agora fazemos x\to\infty. Então \tfrac{2}{x^{2}}\to0, \tfrac{1}{x^{2}}\to0 e \tfrac{2}{x^{4}}\to0. Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{1-\tfrac{2}{x^{2}}}{1+\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}+\tfrac{2}{x^{4}}}} =\frac{1-0}{1+\sqrt{1}}=\frac{1}{1+1}=\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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