Verifique, por derivação, que a fórmula está correta:
\int x^{2} \sqrt{x^{3}+2} d x=\frac{2\left(x{3}+2\right){\frac{3}{2}}}{9}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por diferenciação, que a função
F(x)=\frac{2}{9}\,(x^{3}+2)^{\frac{3}{2}}
é uma primitiva de x^{2}\sqrt{x^{3}+2}. Vamos usar as regras do chain rule (regra da cadeia) e da power rule (regra da potência).

Passo 2

Definimos
F(x)=\frac{2}{9}\,(x^{3}+2)^{\frac{3}{2}}
e queremos calcular
F'(x)=\frac{2}{9}\,\frac{d}{dx}\bigl[(x^{3}+2)^{\frac{3}{2}}\bigr].

Passo 3

Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl[(x^{3}+2)^{\frac{3}{2}}\bigr] =\frac{3}{2}\,(x^{3}+2)^{\frac{1}{2}}\;\cdot\;\frac{d}{dx}(x^{3}+2).
E claramente
\frac{d}{dx}(x^{3}+2)=3x^{2}.

Passo 4

Substituindo no F'(x), temos
F'(x) =\frac{2}{9}\,\Bigl(\frac{3}{2}\,(x^{3}+2)^{\frac{1}{2}}\cdot3x^{2}\Bigr) =\frac{2\cdot3\cdot3}{9\cdot2}\;x^{2}\,(x^{3}+2)^{\frac{1}{2}} =x^{2}\sqrt{x^{3}+2}.

Passo 5

Como F'(x)=x^{2}\sqrt{x^{3}+2}, concluímos que
\int x^{2}\sqrt{x^{3}+2}\,dx =\frac{2\,(x^{3}+2)^{\frac{3}{2}}}{9}+C,
portanto a fórmula dada está correta.

Resposta

A derivada de \frac{2(x^{3}+2)^{3/2}}{9} é x^{2}\sqrt{x^{3}+2}, confirmando a fórmula.

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