Calcule a derivada indicada.
\displaystyle y=e^{x \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = e^{x\operatorname{sen} x}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, combinada com a regra do produto para derivar o expoente x\operatorname{sen} x.

Passo 2

Calcular a derivada do expoente u(x)=x\operatorname{sen} x usando a regra do produto:
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\cdot\operatorname{sen} x + x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr) = 1\cdot\operatorname{sen} x + x\cdot\cos x = \operatorname{sen} x + x\cos x.

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia para y = e^{u(x)}. Como \frac{d}{du}e^u = e^u, temos
y' = e^{u(x)}\cdot u'(x) = e^{x\operatorname{sen} x}\bigl(\operatorname{sen} x + x\cos x\bigr).

Resposta

y' = e^{x\operatorname{sen} x}\bigl(\operatorname{sen} x + x\cos x\bigr).

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