Ache a função analítica f(z)=u(x, y)+i v(x, y), se
u(x, y)=x^{3}-3 x y^{2}. (Obs.: Nos problemas 1 a 4 use as condições de Cauchy-Riemann)

Passo 1

O enunciado dá a parte real da função f e pede para encontrar a função analítica completa f(z)=u(x,y)+i v(x,y). Informações fornecidas:
  • A parte real é u(x,y)=x^{3}-3 x y^{2}.
  • A função f é analítica (ou seja, u e v satisfazem as condições de Cauchy–Riemann).
    O que precisa ser encontrado:
  • A parte imaginária v(x,y) (até uma constante) e, portanto, f(z) completo.

Passo 2

Lembrete claro (fórmula, sem pular etapas): as condições de Cauchy–Riemann para u(x,y) e v(x,y) são
u_x = v_y, \qquad u_y = -v_x,
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y}, v_x=\dfrac{\partial v}{\partial x} e v_y=\dfrac{\partial v}{\partial y}. Essas equações expressam que as derivadas parciais existem e estão ligadas quando f é diferenciável complexamente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u. Começando por derivar u em relação a x e y:
u(x,y)=x^{3}-3x y^{2}.
Derivando em x:
u_x = \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}-3x y^{2}\bigr)=3x^{2}-3y^{2}.
Derivando em y:
u_y = \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-3x y^{2}\bigr)=-6xy.
Expliquei: ao derivar x^{3} em relação a y 0; ao derivar -3x y^{2} em relação a y obtém-se -3x\cdot 2y=-6xy.

Passo 4

Usar a primeira condição de Cauchy–Riemann u_x=v_y para integrar e achar v parcialmente. Como
v_y = u_x = 3x^{2}-3y^{2},
integramos essa expressão em relação a y (tratando x como constante):
v(x,y)=\int (3x^{2}-3y^{2})\,dy = 3x^{2}y - y^{3} + \varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y). Expliquei: ao integrar 3x^{2} em y obtém-se 3x^{2}y; ao integrar -3y^{2} obtém-se -y^{3}.

Passo 5

Usar a segunda condição de Cauchy–Riemann u_y=-v_x para determinar \varphi(x). Primeiro calcule v_x a partir da expressão obtida:
v(x,y)=3x^{2}y - y^{3} + \varphi(x)
v_x = \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y - y^{3} + \varphi(x)\bigr)=6xy + \varphi'(x).
Agora impõe-se u_y = -v_x. Lembrando que \\ u_y=-6xy, obtemos
-6xy = -\bigl(6xy + \varphi'(x)\bigr).
Desenvolvendo o lado direito:
-6xy = -6xy - \varphi'(x).
Cancelando os termos iguais em ambos os lados fica
\varphi'(x)=0.
Integrando em x \varphi(x)=C, com C constante real.

Passo 6

Concluir a parte imaginária v e escrever f. Substituindo \varphi(x)=C em v:
v(x,y)=3x^{2}y - y^{3} + C,\qquad C\in\mathbb{R}.
Portanto a função analítica é
f(z)=u(x,y)+i v(x,y)=\bigl(x^{3}-3x y^{2}\bigr)+i\bigl(3x^{2}y - y^{3} + C\bigr).
Observação útil (não essencial para a prova, mas ajuda a reconhecer o resultado): note que
z^{3}=(x+iy)^{3}=(x^{3}-3x y^{2})+i(3x^{2}y - y^{3}),
logo a solução pode ser escrita de forma compacta como
f(z)=z^{3}+iC,\qquad C\in\mathbb{R}.

Resposta

v(x,y)=3x^{2}y - y^{3} + C,\qquad C\in\mathbb{R}.
f(z)=z^{3}+iC,\qquad C\in\mathbb{R}.

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