Ache a função analítica
, se
. (Obs.: Nos problemas 1 a 4 use as condições de Cauchy-Riemann)
Passo 1
O enunciado dá a parte real da função
e pede para encontrar a função analítica completa
. Informações fornecidas:
- A parte real é
. - A função
é analítica (ou seja, e satisfazem as condições de Cauchy–Riemann).
O que precisa ser encontrado: - A parte imaginária
(até uma constante) e, portanto, completo.
Passo 2
Lembrete claro (fórmula, sem pular etapas): as condições de Cauchy–Riemann para
e
são
onde
,
,
e
. Essas equações expressam que as derivadas parciais existem e estão ligadas quando
é diferenciável complexamente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Começando por derivar
em relação a
e
:
Derivando em
:
Derivando em
:
Expliquei: ao derivar
em relação a
dá
; ao derivar
em relação a
obtém-se
.
Passo 4
Usar a primeira condição de Cauchy–Riemann
para integrar e achar
parcialmente. Como
integramos essa expressão em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
). Expliquei: ao integrar
em
obtém-se
; ao integrar
obtém-se
.
Passo 5
Usar a segunda condição de Cauchy–Riemann
para determinar
. Primeiro calcule
a partir da expressão obtida:
Agora impõe-se
. Lembrando que
, obtemos
Desenvolvendo o lado direito:
Cancelando os termos iguais em ambos os lados fica
Integrando em
dá
, com
constante real.
Passo 6
Concluir a parte imaginária
e escrever
. Substituindo
em
:
Portanto a função analítica é
Observação útil (não essencial para a prova, mas ajuda a reconhecer o resultado): note que
logo a solução pode ser escrita de forma compacta como