Está dada a integral definida no intervalo [0,2\pi] da função \theta \mapsto \dfrac{1}{5+4\cos\theta}.
A tarefa é calcular exatamente o valor numérico de I.
O enunciado exige usar o Teorema dos Resíduos (portanto vamos transformar a integral em uma integral de contorno no plano complexo e aplicar o teorema).
Passo 2
Fazer a substituição complexa padrão z=e^{i\theta} que transforma integrais em \theta numa integral sobre o círculo unitário |z|=1.
Explicando passo a passo a substituição:
Como z=e^{i\theta}, tem-se
dz = i e^{i\theta}\,d\theta = i z\,d\theta \quad\Rightarrow\quad d\theta=\frac{dz}{i z}.
Justificação curta: se h(z_0)=0 e h'(z_0)\neq0, então h(z)\approx h'(z_0)(z-z_0) perto de z_0, logo 1/h(z)\approx 1/(h'(z_0)(z-z_0)) e o coeficiente de (z-z_0)^{-1} (o resíduo) é 1/h'(z_0).
Vamos aplicar isso à integral obtida no Passo 2:
I=\frac{1}{i}\oint_{|z|=1}\frac{dz}{2z^{2}+5z+2}.
Passo 4
Determinar os polos da função g(z)=\dfrac{1}{2z^{2}+5z+2} e quais estão dentro do círculo |z|=1.