Usando o Teorema dos Resíduos calcule a integral
I=\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{5+4 \cos \theta}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{5+4\cos\theta}.
Informações e o que é pedido:
  • Está dada a integral definida no intervalo [0,2\pi] da função \theta \mapsto \dfrac{1}{5+4\cos\theta}.
  • A tarefa é calcular exatamente o valor numérico de I.
  • O enunciado exige usar o Teorema dos Resíduos (portanto vamos transformar a integral em uma integral de contorno no plano complexo e aplicar o teorema).

Passo 2

Fazer a substituição complexa padrão z=e^{i\theta} que transforma integrais em \theta numa integral sobre o círculo unitário |z|=1.
Explicando passo a passo a substituição:
  • Como z=e^{i\theta}, tem-se
dz = i e^{i\theta}\,d\theta = i z\,d\theta \quad\Rightarrow\quad d\theta=\frac{dz}{i z}.
  • Também
\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\frac{z+z^{-1}}{2}.
Agora substituir na integral. A integranda fica
\frac{1}{5+4\cos\theta}=\frac{1}{5+4\cdot\frac{z+z^{-1}}{2}}=\frac{1}{5+2\bigl(z+z^{-1}\bigr)}=\frac{1}{5+2z+2z^{-1}}.
Multiplicando numerador e denominador por z (para obter uma função racional em z):
\frac{1}{5+2z+2z^{-1}}=\frac{z}{2z^{2}+5z+2}.
Assim, usando d\theta=\dfrac{dz}{i z}, a integral I transforma-se em
I=\int_{|z|=1}\frac{z}{2z^{2}+5z+2}\cdot\frac{dz}{i z}=\frac{1}{i}\int_{|z|=1}\frac{dz}{2z^{2}+5z+2},
onde a integral é tomada no sentido anti-horário ao longo do círculo unitário |z|=1.

Passo 3

Explicar o Teorema dos Resíduos e como vamos usá-lo.
Enunciado do Teorema dos Resíduos (forma usada aqui):
  • Se f é meromorfa dentro e sobre uma curva fechada simples \gamma e tem polos isolados z_k dentro de \gamma, então
\oint_{\gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}(f;z_k),
onde \operatorname{Res}(f;z_k) é o resíduo de f em z_k.
Fórmula prática para pólos simples:
  • Se f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)} com g e h holomorfas e h(z_0)=0, h'(z_0)\neq0 (pólo simples), então
\operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}.
No caso particular de f(z)=1/h(z) com pólo simples em z_0,
\operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{h};z_0\right)=\frac{1}{h'(z_0)}.
Justificação curta: se h(z_0)=0 e h'(z_0)\neq0, então h(z)\approx h'(z_0)(z-z_0) perto de z_0, logo 1/h(z)\approx 1/(h'(z_0)(z-z_0)) e o coeficiente de (z-z_0)^{-1} (o resíduo) é 1/h'(z_0).
Vamos aplicar isso à integral obtida no Passo 2:
I=\frac{1}{i}\oint_{|z|=1}\frac{dz}{2z^{2}+5z+2}.

Passo 4

Determinar os polos da função g(z)=\dfrac{1}{2z^{2}+5z+2} e quais estão dentro do círculo |z|=1.
Resolver a equação do denominador:
2z^{2}+5z+2=0.
Usando fórmula quadrática:
z=\frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{4}=\frac{-5\pm 3}{4}.
Portanto as raízes são
z_{1}=\frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2},\qquad z_{2}=\frac{-5-3}{4}=-2.
  • Como \left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}<1, o polo z_{1}=-\dfrac{1}{2} está dentro do círculo unitário.
  • Como |-2|=2>1, o polo z_{2}=-2 está fora do círculo unitário.
    Logo, apenas z_{1}=-\dfrac{1}{2} contribui para a soma de resíduos dentro de |z|=1.

Passo 5

Calcular o resíduo em z_{1}=-\dfrac{1}{2} para a função g(z)=\dfrac{1}{2z^{2}+5z+2}.
Usando a fórmula para pólo simples:
  • Primeiro calcular a derivada do denominador h(z)=2z^{2}+5z+2:
h'(z)=4z+5.
  • Avaliar em z_{1}=-\dfrac{1}{2}:
h'\!\left(-\frac{1}{2}\right)=4\!\left(-\frac{1}{2}\right)+5=-2+5=3.
  • Portanto o resíduo de g em z_{1} é
\operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{2z^{2}+5z+2};-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}.
Observação sobre o fator \dfrac{1}{i} que está multiplicando a integral: é conveniente primeiro aplicar o teorema dos resíduos à integral
\oint_{|z|=1}\frac{dz}{2z^{2}+5z+2},
que vale 2\pi i vezes a soma dos resíduos internos. Como só temos o resíduo \dfrac{1}{3}, obtém-se
\oint_{|z|=1}\frac{dz}{2z^{2}+5z+2}=2\pi i\cdot\frac{1}{3}=\frac{2\pi i}{3}.

Passo 6

Retornar à integral original I usando o fator \dfrac{1}{i} do Passo 2:
I=\frac{1}{i}\cdot\frac{2\pi i}{3}=\frac{2\pi}{3}.
Comentário de verificação (opcional, só para confiança): existe uma fórmula conhecida
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\quad\text{para }a>|b|.
Aqui a=5, b=4, então \sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-16}=3, o que dá 2\pi/3, confirmando o resultado obtido pelo método dos resíduos.

Resposta

\dfrac{2\pi}{3}

Exercícios relacionados