Ache a função analítica f(z)=u(x, y)+i v(x, y), se
v(x, y)=e^{-y} \operatorname{sen} x. (Obs.: Nos problemas 1 a 4 use as condições de Cauchy-Riemann)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede, com tudo bem claro:
  • Foi dada a parte imaginária da função f: \displaystyle v(x,y)=e^{-y}\sin x.
  • A função procurada é f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) (ou seja, queremos descobrir u(x,y)).
  • A condição extra: f é analítica (holomorfa) — por isso o enunciado pede para usar as condições de Cauchy–Riemann.
  • A pergunta única: achar a função analítica f(z) completa (ou seja, encontrar u(x,y) e escrever f).

Passo 2

Lembrete didático sobre as condições de Cauchy–Riemann (CR) — por que e o que elas dizem:
  • Se f=u+iv é diferenciável (analítica) numa região do plano complexo, as funções reais u(x,y) e v(x,y) têm derivadas parciais e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
  • Aqui u_x é a derivada parcial de u em relação a x (tratando y fixo), e assim por diante.
  • Essas equações são a tradução, em partes reais e imaginárias, da condição de diferenciabilidade complexa. Vamos usá-las diretamente: conhecemos v, então calculamos v_x e v_y e obtemos u_x e u_y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de v. A partir de
v(x,y)=e^{-y}\sin x,
tratando x e y como variáveis independentes:
  • Derivada parcial em relação a x (mantendo y fixo):
v_x(x,y)=e^{-y}\cos x.
(Explicação: e^{-y} é constante quando derivamos em x; a derivada de \sin x é \cos x.)
  • Derivada parcial em relação a y (mantendo x fixo):
v_y(x,y)=-e^{-y}\sin x.
(Explicação: derivando e^{-y} em y -e^{-y}; \sin x é constante aqui.)

Passo 4

Usar a primeira equação de Cauchy–Riemann u_x=v_y para obter u:
Temos
u_x(x,y)=v_y(x,y)=-e^{-y}\sin x.
Agora integramos essa igualdade em relação a x (lembrando que ao integrar em x tratamos y como constante). Assim
u(x,y)=\int u_x\,dx=\int (-e^{-y}\sin x)\,dx.
Como e^{-y} é constante no integral em x,
u(x,y) = -e^{-y}\int \sin x\,dx = -e^{-y}(-\cos x)+\varphi(y) = e^{-y}\cos x + \varphi(y),
onde \varphi(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).
(Explicação pedagógica: sempre que integrar uma derivada parcial em relação a uma variável, pode aparecer uma função “constante” que depende das outras variáveis.)

Passo 5

Determinar \varphi(y) usando a segunda equação de Cauchy–Riemann u_y=-v_x.
Primeiro calcule u_y a partir de u(x,y)=e^{-y}\cos x + \varphi(y):
u_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-y}\cos x\bigr) + \varphi'(y) = -e^{-y}\cos x + \varphi'(y).
A segunda CR exige
u_y(x,y) = -v_x(x,y) = -\bigl(e^{-y}\cos x\bigr) = -e^{-y}\cos x.
Comparando as duas expressões para u_y:
-e^{-y}\cos x + \varphi'(y) = -e^{-y}\cos x.
Logo
\varphi'(y)=0.
Isto implica que \varphi(y) é constante: \varphi(y)=C, onde C é uma constante real.
(Observação: \varphi precisa ser real para que a parte imaginária permaneça exatamente v dada; um termo imaginário constante alteraria v.)

Passo 6

Escrever u e f finais e interpretar em forma mais compacta.
Com \varphi(y)=C obtemos
u(x,y)=e^{-y}\cos x + C.
Portanto
f(z)=u(x,y)+i v(x,y)=\bigl(e^{-y}\cos x + C\bigr) + i\bigl(e^{-y}\sin x\bigr).
Agrupando os termos e^{-y}\cos x + i e^{-y}\sin x:
f(z)=e^{-y}\bigl(\cos x + i\sin x\bigr) + C = e^{-y}e^{i x} + C.
Mas e^{i z}=e^{i(x+iy)}=e^{i x - y}=e^{-y}e^{i x}. Logo
f(z)=e^{i z} + C,
onde C é uma constante real.
(Explicação: só é permitido adicionar aqui uma constante real C, porque v já foi fixada; adicionar uma constante complexa com parte imaginária não-nula mudaria v.)

Passo 7

Verificação rápida (cheque de consistência):
  • A parte imaginária de e^{i z}+C é a parte imaginária de e^{i z}, que é e^{-y}\sin x, exatamente o v dado.
  • As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas (já usamos isso para encontrar u).
  • Conclusão: a família de funções analíticas que tem parte imaginária v(x,y)=e^{-y}\sin x é
f(z)=e^{i z}+C,\qquad C\in\mathbb{R}.

Resposta

f(z)=e^{iz}+C,\quad C\in\mathbb{R}

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