Ache a função analítica
, se
. (Obs.: Nos problemas 1 a 4 use as condições de Cauchy-Riemann)
Passo 1
O que o enunciado dá e pede, com tudo bem claro:
- Foi dada a parte imaginária da função
: . - A função procurada é
(ou seja, queremos descobrir ). - A condição extra:
é analítica (holomorfa) — por isso o enunciado pede para usar as condições de Cauchy–Riemann. - A pergunta única: achar a função analítica
completa (ou seja, encontrar e escrever ).
Passo 2
Lembrete didático sobre as condições de Cauchy–Riemann (CR) — por que e o que elas dizem:
- Se
é diferenciável (analítica) numa região do plano complexo, as funções reais e têm derivadas parciais e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
- Aqui
é a derivada parcial de em relação a (tratando fixo), e assim por diante. - Essas equações são a tradução, em partes reais e imaginárias, da condição de diferenciabilidade complexa. Vamos usá-las diretamente: conhecemos
, então calculamos e e obtemos e .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. A partir de
tratando
e
como variáveis independentes:
- Derivada parcial em relação a
(mantendo fixo):
(Explicação:
é constante quando derivamos em
; a derivada de
é
.)
- Derivada parcial em relação a
(mantendo fixo):
(Explicação: derivando
em
dá
;
é constante aqui.)
Passo 4
Usar a primeira equação de Cauchy–Riemann
para obter
:
Temos
Agora integramos essa igualdade em relação a
(lembrando que ao integrar em
tratamos
como constante). Assim
Como
é constante no integral em
,
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
(Explicação pedagógica: sempre que integrar uma derivada parcial em relação a uma variável, pode aparecer uma função “constante” que depende das outras variáveis.)
Passo 5
Determinar
usando a segunda equação de Cauchy–Riemann
.
Primeiro calcule
a partir de
:
A segunda CR exige
Comparando as duas expressões para
:
Logo
Isto implica que
é constante:
, onde
é uma constante real.
(Observação:
precisa ser real para que a parte imaginária permaneça exatamente
dada; um termo imaginário constante alteraria
.)
Passo 6
Escrever
e
finais e interpretar em forma mais compacta.
Com
obtemos
Portanto
Agrupando os termos
:
Mas
. Logo
onde
é uma constante real.
(Explicação: só é permitido adicionar aqui uma constante real
, porque
já foi fixada; adicionar uma constante complexa com parte imaginária não-nula mudaria
.)
Passo 7
Verificação rápida (cheque de consistência):
- A parte imaginária de
é a parte imaginária de , que é , exatamente o dado. - As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas (já usamos isso para encontrar
). - Conclusão: a família de funções analíticas que tem parte imaginária
é