Ache d yd x para as funções abaixo.
y=a x^n+2 x^n-1+k x, forall a, k in R.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = a x^n + 2 x^n-1 + k x,
e pede para encontrar dfracd yd x. O conteúdo usado será a regra do poder (power rule) de derivação e a linearidade da derivada.

Passo 2

A regra do poder afirma que, para qualquer expoente minR,
ddxl(x^mr)=m,x^m-1
Além disso, se c é constante, então
ddxl(c,f(x)r)=c,f'(x),
e a derivada de soma é a soma das derivadas.

Passo 3

Aplicando a regra do poder ao primeiro termo a x^n, com c=a e m=n, obtemos
ddxl(a x^nr)=acdot n,x^n-1

Passo 4

No segundo termo 2 x^n-1, temos c=2 e m=n-1, logo
ddxl(2 x^n-1r)=2cdot(n-1),x^n-2

Passo 5

Para o último termo k x, note que k é constante e x = x^1, então
ddxl(k xr)=kcdot1,x^0=k

Passo 6

Somando as derivadas de cada termo pela linearidade, concluímos que
d yd x = a,n,x^n-1 ;+; 2(n-1),x^n-2 ;+; k

Resposta

d yd x = a,n,x^n-1 + 2(n-1),x^n-2 + k

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