Seja f(x)=ln (1-ln (x)).
(1,0 pt) Mostre que f^prime prime(x)=-ln (x)x^2(1-ln (x))^2 e determine os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e os intervalos em que é côncavo para baixo;

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=lnl(1-ln(x)r)
com domínio 0<x<e (pois precisamos de x>0 e 1-ln(x)>0). O conteúdo é analisar concavidade usando a segunda derivada. Vamos calcular f'(x), depois f''(x) e estudar o sinal de f''(x).

Passo 2

Para achar f'(x) usamos regra da cadeia. Seja u(x)=1-ln(x), então f(x)=ln(u(x)). Temos
u'(x)=-1x,
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f'(x)=u'(x)u(x) =-1x,(1-ln(x))

Passo 3

Para f''(x) derivamos
f'(x)=-l[x,(1-ln(x))r]^-1
Seja v(x)=x,(1-ln(x)). Então f'(x)=-v(x)^-1 e
v'(x)=1-ln(x)-xcdot1x =1-ln(x)-1 =-ln(x)
Pela regra da cadeia,
f''(x) =-l(-1r),v(x)^-2,v'(x) =v'(x)v(x)^2 =-ln(x)l[x,(1-ln(x))r]^2 =-ln(x)x^2,(1-ln(x))^2

Passo 4

O denominador x^2,(1-ln(x))^2 é sempre positivo em (0,e). Logo o sinal de f''(x) é o de -ln(x):
  • Se 0<x<1, então ln(x)<0 e -ln(x)>0, de modo que f''(x)>0 (côncavo para cima).
  • Se 1<x<e, então ln(x)>0 e -ln(x)<0, de modo que f''(x)<0 (côncavo para baixo).

Resposta

f''(x)=-ln(x)x^2,(1-ln(x))^2
O gráfico de f é côncavo para cima em (0,1) e côncavo para baixo em (1,e).

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