Seja
.
Mostre que
e determine os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e os intervalos em que é côncavo para baixo;
Passo 1
O enunciado define a função
com domínio
(pois precisamos de
e
). O conteúdo é analisar concavidade usando a segunda derivada. Vamos calcular
, depois
e estudar o sinal de
.
Passo 2
Para achar
usamos regra da cadeia. Seja
, então
. Temos
logo
Passo 3
Para
derivamos
Seja
. Então
e
Pela regra da cadeia,
Passo 4
O denominador
é sempre positivo em
. Logo o sinal de
é o de
:
- Se
, então e , de modo que (côncavo para cima). - Se
, então e , de modo que (côncavo para baixo).
Resposta
O gráfico de