(1,0 pt) Mostre que f(x)=x^45-1 satisfaz f(1)=f(-1) e não existe c in(-1,1) tal que f^prime(c)=0. Justifique por que isso não contradiz o Teorema de Rolle.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar que a função f(x) = x^45 - 1 satisfaz f(1) = f(-1) e que não existe um número c entre -1 e 1 tal que f'(c) = 0 . Além disso, temos que explicar por que isso não vai contra o Teorema de Rolle. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções, derivadas e o próprio Teorema de Rolle.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se f(1) é igual a f(-1) . Isso significa substituir 1 e -1 na função e ver se os resultados são iguais.
f(1) = 1^45 - 1 = 1 - 1 = 0
f(-1) = (-1)^45 - 1
Agora, precisamos calcular (-1)^45 . Sabemos que elevar -1 a uma potência par (como 4) dá 1, e a raiz quinta de 1 é 1. Então,
(-1)^45 = ( (-1)^4 )^15 = 1^15 = 1
Portanto,
f(-1) = 1 - 1 = 0
Assim, f(1) = f(-1) = 0 .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função f(x) para ver se existe algum c entre -1 e 1 onde a derivada é zero. A derivada de f(x) nos dá a inclinação da tangente à curva naquele ponto.
f(x) = x^45 - 1
A derivada de x^n em relação a x é n cdot x^n-1 . Então,
f'(x) = 45 cdot x^45 - 1 = 45 cdot x^-15 = 45 cdot 1x^15

Passo 4

Vamos analisar se existe algum c entre -1 e 1 onde f'(c) = 0 .
Olha só a expressão da derivada:
f'(x) = 45 cdot 1x^15
Para que f'(x) = 0 , precisaríamos que 1x^15 = 0 . Mas isso nunca acontece, porque 1x^15 está sempre definido, exceto em x = 0 , onde a função não está definida (divide por zero). Portanto, não existe nenhum c em (-1, 1) onde f'(c) = 0 .

Passo 5

Agora, vamos falar sobre o Teorema de Rolle. Esse teorema diz que se uma função é contínua em [a, b], diferenciável em (a, b) e f(a) = f(b) , então existe pelo menos um ponto c em (a, b) onde f'(c) = 0 .
Nesse caso, a função f(x) é contínua em [-1, 1], e f(-1) = f(1) . Mas atenção! A função não é diferenciável em todo o intervalo (-1, 1), especificamente em x = 0 , porque a derivada não está definida ali. Isso significa que as condições do Teorema de Rolle não estão completamente satisfeitas, então não há contradição quando não encontramos um c onde f'(c) = 0 .

Resposta

Assim, mostramos que f(1) = f(-1) e que não existe nenhum c em (-1, 1) onde f'(c) = 0 . Isso não contraria o Teorema de Rolle porque a função não é diferenciável em todo o intervalo considerado.

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