Mostre que
satisfaz
e não existe
tal que
. Justifique por que isso não contradiz o Teorema de Rolle.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar que a função
satisfaz
e que não existe um número
entre -1 e 1 tal que
. Além disso, temos que explicar por que isso não vai contra o Teorema de Rolle. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções, derivadas e o próprio Teorema de Rolle.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é igual a
. Isso significa substituir 1 e -1 na função e ver se os resultados são iguais.
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que elevar -1 a uma potência par (como 4) dá 1, e a raiz quinta de 1 é 1. Então,
Portanto,
Assim,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
para ver se existe algum
entre -1 e 1 onde a derivada é zero. A derivada de
nos dá a inclinação da tangente à curva naquele ponto.
A derivada de
em relação a
é
. Então,
Passo 4
Vamos analisar se existe algum
entre -1 e 1 onde
.
Olha só a expressão da derivada:
Para que
, precisaríamos que
. Mas isso nunca acontece, porque
está sempre definido, exceto em
, onde a função não está definida (divide por zero). Portanto, não existe nenhum
em (-1, 1) onde
.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o Teorema de Rolle. Esse teorema diz que se uma função é contínua em [a, b], diferenciável em (a, b) e
, então existe pelo menos um ponto
em (a, b) onde
.
Nesse caso, a função
é contínua em [-1, 1], e
. Mas atenção! A função não é diferenciável em todo o intervalo (-1, 1), especificamente em
, porque a derivada não está definida ali. Isso significa que as condições do Teorema de Rolle não estão completamente satisfeitas, então não há contradição quando não encontramos um
onde
.
Resposta
Assim, mostramos que
e que não existe nenhum
em (-1, 1) onde
. Isso não contraria o Teorema de Rolle porque a função não é diferenciável em todo o intervalo considerado.