(1,5 pt) Em quais pontos da curva y=1+30 x^3-x^5 a reta tangente possui maior inclinação?

Passo 1

Então, a gente tem a curva $ y = 1 + 30x^{3} - x^{5} $ e queremos descobrir em quais pontos dessa curva a reta tangente tem a maior inclinação. Basicamente, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas, para encontrar a inclinação das tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de $ y = 1 + 30x^{3} - x^{5} $ é:
y

Passo 3

Agora que temos $ y’ = 90x^{2} - 5x^{4} $, queremos descobrir onde essa inclinação é máxima. Para isso, vamos derivar $ y’ $ em relação a $ x $ novamente, obtendo a segunda derivada $ y’’ $:
y' = 90x^2 - 5x^4

Passo 4

Para encontrar os pontos onde $ y’ $ tem um ponto de máximo, vamos resolver $ y’’ = 0 $:
y'
Factorizando:
y'' = 0
Isso nos dá as soluções:
180x - 20x^3 = 0

Passo 5

Agora, vamos verificar qual desses valores de $ x $ realmente corresponde a um ponto de máximo para $ y’ $. Podemos fazer isso analisando o sinal de $ y’’ $ em torno desses pontos.
Para $ x = 0 $:
  • Se $ x $ for um pouco positivo, $ y’’ = 180(0.1) - 20(0.1)^3 = 18 - 0.002 = 17.998 $ (positivo)
  • Se $ x $ for um pouco negativo, $ y’’ = -18 - 0.002 = -18.002 $ (negativo)
    Isso indica que $ x = 0 $ é um ponto de inflexão, não de máximo.
Para $ x = 3 $:
  • Se $ x = 3 $, $ y’’ = 180(3) - 20(3)^3 = 540 - 540 = 0 $
    Analisando ao redor, percebemos que para valores maiores que 3, $ y’’ $ é negativo, e para menores, positivo, indicando que $ x = 3 $ é um ponto de máximo.
Para $ x = -3 $:
  • Se $ x = -3 $, $ y’’ = 180(-3) - 20(-3)^3 = -540 + 540 = 0 $
    Analogamente, para valores ao redor, vemos que isso também é um ponto de máximo.

Resposta

Os pontos da curva $ y = 1 + 30x^{3} - x^{5} $ onde a reta tangente possui maior inclinação são quando $ x = 3 $ e $ x = -3 $.

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