Ache o gradiante da função dada.
f(x, y, z)=x-yx+z.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o gradiente da função f(x,y,z)=x-yx+z. O gradiente reúne as derivadas parciais em um vetor e faz parte do conteúdo de cálculo vetorial.
Lembrando que o gradiente é dado por nabla f=(partial f/partial x, partial f/partial y, partial f/partial z) e que, para uma função quociente f=N/D, usamos a regra do quociente: se N e D dependem de uma variável u, então
partial fpartial u=D,partial N/partial u - N,partial D/partial uD^2

Passo 2

Para partial f/partial x aplicamos a regra do quociente com N=x-y e D=x+z. Como partial N/partial x=1 e partial D/partial x=1, temos
partial fpartial x=(x+z)cdot1-(x-y)cdot1(x+z)^2=y+z(x+z)^2

Passo 3

Para partial f/partial y, como partial N/partial y=-1 e partial D/partial y=0, obtemos
partial fpartial y=(x+z)(-1)-(x-y)cdot0(x+z)^2=-x+z(x+z)^2=-1x+z

Passo 4

Para partial f/partial z, temos partial N/partial z=0 e partial D/partial z=1, então
partial fpartial z=(x+z)cdot0-(x-y)cdot1(x+z)^2=-x-y(x+z)^2

Passo 5

Por fim, juntamos essas derivadas parciais para escrever o gradiente como um vetor.

Resposta

nabla f(x,y,z)=l(y+z(x+z)^2,,-1x+z,,-x-y(x+z)^2r)

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